A prova da irracionalidade da raiz de 2 � simples, elegante e muito instrutiva pois utiliza o chamado m�todo de redu��o ao absurdo. Este tipo de demonstra��o tamb�m costuma ser denominado prova por contradi��o e, em sua ess�ncia, constitui-se em supor o contr�rio daquilo que se deseja demonstrar e concluir que tal negativa leva a algum absurdo ou contradi��o. Se o contr�rio de algo � um absurdo, logo aquele algo � verdadeiro: esta � a l�gica do m�todo. (Alguns importantes teoremas dos Elementos foram demonstrados por Euclides utilizando a id�ia de redu��o ao absurdo, o que comprova que ela j� era conhecida desde os prim�rdios da Matem�tica dedutiva). Suponhamos, ent�o, que 2^1/2 seja um n�mero de forma a/b, com a e b inteiros, e que esta fra��o esteja reduzida a sua forma mais simples, ou seja, que a e b n�o tenham fatores comuns (esta simplifica��o � sempre poss�vel, como sabemos da Aritm�tica). Assim a/b = 2^1/2 e a^2/b^2 = 2 ent�o, a^2 = 2b^2 significa que a^2 � um n�mero par, de onde se conclui que "a" tamb�m � par, digamos 2p. Desta forma (2p)^2 = 2b^2 ent�o, 2p^2 = b^2. Esta igualdade indica que b^2 � par, ou seja, que b � par. Logo a e b s�o pares mas isto � uma contradi��o com nossa hip�tese inicial de que a e b n�o t�m fatores comuns. Como a �nica causa poss�vel de termos chegado a este absurdo foi a suposi��o de 2^1/2 = a/b, fica provado que 2^1/2 n�o pode ser o quociente entre dois n�meros inteiros. Ap�s a raiz de 2, foram descobertos infinitos outros n�meros irracionais e as coisas ficaram assim at� que, no s�culo XVII, principalmente devido �s t�cnicas do C�lculo Diferencial, fun��es e n�meros passaram a poder ser expressos atrav�s das s�ries infinitas.
A prop�sito, como poder� explicar aos alunos porque 10^(1/3) � irracional, sem saber o seu valor certo? Abra�os! ______________________________________________ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
