Oi, Artur:
Eu estou no Rio e longe dos meus livros. Por isso pergunto:
Qual a defini��o de derivada direcional?
Eu me lembro de ter visto isso em C�lculo III mas foi no s�culo passado...
Por acaso a derivada direcional da fun��o f (definida num subconjunto aberto do R^n) no ponto x_0 e na dire��o do vetor v � igual a:
Dv(f)(x_0) =lim(t -> 0) (f(x_0 + t*v)- f(x_0))/t (t real)?
Em caso afirmativo, v precisa ser um vetor unit�rio?
Eu pergunto porque se v for um vetor da base can�nica do R^n (digamos o i-esimo: e_i), acho que o limite acima ser� igual � derivada parcial de f em rela��o a i-�sima vari�vel independente. Da�, talvez seja s� uma quest�o de expressar v em fun��o dos vetores da base can�nica.
Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais).
Ent�o, um pouquinho de �lgebra resulta em:
(f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t =
a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f(x_0))/(tb).
Fazendo t -> 0, teremos que:
Dv(f)(x_0) = a*(df/dx)(x_0) + b*(df/dy)(x_0) ==>
Dv(f)(x_0) = < grad(f)(x_0) , v > = produto interno usual de grad(f) no ponto x_0 e v.
Se tudo acima estiver certo, ent�o a exist�ncia das derivadas parciais no aberto implica a exist�ncia das derivadas direcionais.
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | [EMAIL PROTECTED] |
| C�pia: |
| Data: | Wed, 5 May 2004 18:08:13 -0300 |
| Assunto: | Re: [obm-l] derivadas parciais |
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> > Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e
> > forem limitadas no mesmo, ent�o isto implica que todas
> > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu
> > estou tentando provar isso, mas n�o estou certo.
>
> >>Este eu n�o sei, este tipo de coisa � delicado e eu n�o acho
> >>t�o interessante; vou pensar.
>
> Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um
> tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas escrito
> numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma razao
> obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais
> dificil de se entender.
> Artur
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