>Por acaso a derivada direcional da fun��o f (definida num subconjunto >aberto do R^n) no ponto x_0 e na dire��o do vetor v � igual a: >Dv(f)(x_0) =lim(t -> 0) (f(x_0 + t*v)- f(x_0))/t (t real)?
>Em caso afirmativo, v precisa ser um vetor unit�rio? A definicao eh efetivamente esta. Quanto ao vetor v ser unitario, naum hah unanimidade. Alguns autores fazem esta exigencia, outros, como o Apostol, naum a fazem. Bartle tambem naum exige que v seja unitario. Assim, quando se estiver consultando algum livro, eh importante se certificar de qual definicao o autor adota. Na realidade, isto naum eh muito importante, desde que a convencao adotada fique bem clara. >Eu pergunto porque se v for um vetor da base can�nica do R^n (digamos o i->esimo: e_i), acho que o limite acima ser� igual � derivada parcial de f em >rela��o a i-�sima vari�vel independente. Da�, talvez seja s� uma quest�o >de expressar v em fun��o dos vetores da base can�nica. De fato, as derivada parciais, sao as derivadas direcionais relativas aos vetores da base canonica >Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais). >Ent�o, um pouquinho de �lgebra resulta em: >(f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t = >a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f >(x_0))/>tb). >Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais). >Ent�o, um pouquinho de �lgebra resulta em: >(f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t = >a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f(x_0))/>(tb). Aqui hah um detalhe sutil. A passagem ao limite, conforme abaixo, naum procede. Ocorre aqui um fato que eh uma dor de cabeca para quem trabalha com algoritmos de otimizacao em problemas naum lineares. A existencia das derivadas parciais em um ponto NAUM implica a existencia de todas a derivadas direcionais (eu agora estou aproveitando uma folga no trabalho, depois dou um exemplo de uma funcao deste tipo). A existencia desta ultimas NAUM implica continuidaee e menos ainda difereciabilidade. Aquela classica formula do produto interno do gradiente pelo vetor v eh sem duvida valida quando a f eh diferenciavel no ponto em questao (estah eh uma condicao suficiente, embora naum necessaria). Se f naum for diferenciavel, cada caso eh um caso.... Lembro que, contrariamente ao que as vezes se julga, no caso do R^n, n>=2, dizer que f eh diferenciavel em x naoum signfica que suas deivadas parciais existam em x, mas sim que, numa vizinhanca de x, f possa ser aproximada por uma funcao linear. Mais especificamente, significa que existe uma funcao linear L: R^n -> R tal que, para todo h tal que x+h esteja no dominio de f, tenhamos f(x+h) - f(x) = L(h) + o(||h||), sendo o uma funcao tal que o(h)/(||h||) -> 0 quando ||h||->0. A funcao L eh conhecida como a derivada (ou derivada total) de f em x. Demonstra-se facilmente que, para todo vetor v do R^n, L(v) = grad_f(x)*v, produto escalar, que eh aquela conhecida formula muito ensinada sem a devida profundidade em curso de Engenharia (bom, talvez naum seja mesmo preciso chegar a estes detalhes na Engenharia). Hah algumas conclusoes interessantes Se as derivadas parciais de f existirem e forem limitadas em uma vizinhanca de x, entao f eh continua em x. Uma condicao suficiente (mas naum necessaria) para que f seja diferenciavel em x eh que uma das derivadas parciais de f exista em x e as demais sejam continuas em x e existam em uma vizinhanca de x (a continuidade soh eh exigida em x. Este fato nao me parece ser muito conhecido. A sua prova, que naum eh muito complicada, eh linda para quem gost de analise) A maioria dos livros apresenta uma prova assumindo que todas as derivadas parcias existam numa vizinhanca de x e sejam continuas em x. Mas, na realiddae, basta a outra hipotese mais fraca. Bom, jah repeti demais o que estah em todo bom livro de Analise. Abracos Artur >Fazendo t -> 0, teremos que: >Dv(f)(x_0) = a*(df/dx)(x_0) + b*(df/dy)(x_0) ==> >Dv(f)(x_0) = < grad(f)(x_0) , v > = produto interno usual de grad(f) no >ponto x_0 e v. >Se tudo acima estiver certo, ent�o a exist�ncia das derivadas parciais no >aberto implica a exist�ncia das derivadas direcionais. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] C�pia: Data:Wed, 5 May 2004 18:08:13 -0300 Assunto:Re: [obm-l] derivadas parciais > > > Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e > > forem limitadas no mesmo, ent�o isto implica que todas > > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu > > estou tentando provar isso, mas n�o estou certo. > > >>Este eu n�o sei, este tipo de coisa � delicado e eu n�o acho > >>t�o interessante; vou pensar. > > Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um > tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas escrito > numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma razao > obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais > dificil de se entender. > Artur > > ________________________________________________ > OPEN Internet > @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
