Muito obrigado, Ralph! Confesso que ontem, 30 minutos depois de postar a pergunta, tive essa ideia da soma das raízes. Mesmo assim, acho uma ótima questão para dividir com o grupo.
Um abraço! Em qua, 24 de jul de 2019 12:26, Ralph Teixeira <[email protected]> escreveu: > Ah, tenho uma ideia rapida para a 4a raiz: note que o termo em z^3 nao > existe... Entao a soma das raizes eh 0. Assim, se z1=w, z2=x e z3=y, entao > devemos ter z4=-w-x-y. > > Abraco, Ralph. > > On Wed, Jul 24, 2019 at 11:22 AM Ralph Teixeira <[email protected]> wrote: > >> Eu entendi a dica assim: finja momentanemante (apenas para ajudar a >> pensar) que x, y e w sao constantes, digamos, 3, pi e 111. Entao abrindo o >> determinante pela ultima coluna, voce vai ficar com um polinomio de quarto >> grau em z, correto? Pois bem, se as raizes desses polinomio forem z1, z2, >> z3 e z4, entao o polinomio tem que ser P(z)=a(z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4), onde >> a eh o coeficiente de z^4 no polinomio. >> >> Entao, vamos fazer isso, pensando que z eh a unica variavel e x,y e w sao >> constantes. O coeficiente de z^4 eh o determinante 3x3 do canto superior >> esquerdo, que eh Vandermonde, entao a=(x-w)(y-w)(y-x). Claramente (sim?), >> z1=w, z2=x e z3=y sao raizes, entao jah temos P(z)=(x-w)(y-w)(y-x). >> (z-w)(z-x)(z-y). (z-z4). Falta apenas mostrar que z4=-w-x-y eh a ultima >> raiz, ou seja, se voce mostrar que aquele determinante se anula sempre que >> x+y+z+w=0, acabou... >> >> Abraco, Ralph. >> >> On Wed, Jul 24, 2019 at 12:24 AM Vanderlei Nemitz <[email protected]> >> wrote: >> >>> Pessoal, como posso calcular o seguinte determinante, utilizando um >>> polinômio em z? >>> >>> 1 1 1 1 >>> w x y z >>> w^2 x^2 y^2 z^2 >>> w^4 x^4 y^4 z^4 >>> >>> A resposta é (z − y)(z − x)(z − w)(y − x)(y − w)(x − w)(w + x + y + z). >>> >>> Vi em uma lista e a dica é essa: >>> Expanda o determinante ao longo da última coluna e encontre seus zeros >>> como um polinômio em z. >>> >>> Não conheço esse truque. >>> >>> Muito obrigado! >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
