Esta sua solução por séries é bem interessante. Valeu! A justificativa para transformar a integral de uma série em uma série dr integrais é convergência uniforme da série, certo?
Eu prnsei numa solução baseada em I1(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a), a > 0. Fazendo x = 1/t demonstramos que I1(1) = 0. Depois, fazendo x = at, vamos cair numa integral que dá arctan e deduzimos que I1(a) = (Pi log(a))/(4raiz(a)), a > 0 Sendo I2(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a)^2, vemos que o integrando de I2(a) é -d/da 1/(x^2 + a), o simétrico da derivada parcial com relaçâo a a do integrando de I1(a). Para a >= 1, o valor absoluto desta derivada é dominado em (0, inf) pela função de x f(x) = log(x)/(x^2 + 1), x em (0, 1], que já vimos ser integrável neste intervalo f(x) = log(x)/x^2, x em (1, inf). Uma simples integração por partes mostra que este ramo de f é integrável em (1, inf). Assim, para a >= 1, f domina o integrando de I2(a) em (0, inf) e é integrável no mesmo. Segundo um teorema da Análise (egresso da Teoria da Medida), isto nos possibilita diferenciar sob o sinal de integral para concluir que I2(a) = -d/da I1(a). Isto nos leva a que I2(a) = Pi/8 (log(a) - 2) a^(-3/2), a >= 1 Não sei se esta fórmula vale em (0, 1). Acho que não. Fazendo a = 1, obtemos I2(1) = -Pi/4 Mas se o objetivo for só determinar I2(1), parece que usei guindaste pra levantar uma caixa de fósforos. Acho que a sugestão do tal Phd (um francês) não era o que eu fiz. Artur Costa Steiner Em ter, 28 de ago de 2018 21:34, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) > t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2 > > Assim, > Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) > log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(0...1) > x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) (log(x)/(1+x^2)^2 + x^2*log(x)/(1+x^2)^2)*dx = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) = > Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx > > A primitiva de x^n*log(x) é x^(n+1)/(n+1)*(log(x) - 1/(n+1)) + C > > Logo, Integral(0...1) x^n*log(x)*dx = -1/(n+1)^2 ==> > Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx = > -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... = > -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...) > > A série entre parênteses não parece ter soma Pi/4, mas é muito provável > que eu tenha errado alguma conta. > > []s, > Claudio. > > > > > On Tue, Aug 28, 2018 at 4:55 PM Artur Steiner < > [email protected]> wrote: > >> Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral >> >> Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx >> >> Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se >> considerarmos que (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1) dx = 0. Este fato não é >> difícil de mostrar. Parcelando a segunda integral na soma de uma de (-oo a >> 1] com outra de [1 a oo) e fazendo x = 1/t em uma delas, concluimos que a >> integral é nula. >> >> Mas não vejo como esta informação possa ser utilizada na resolução da >> 1a.? Não vi o argumento do Phd. >> >> Alguém tem alguma sugestão? A resposta é -pi/4. >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
