x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2
Assim, Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(0...1) x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) (log(x)/(1+x^2)^2 + x^2*log(x)/(1+x^2)^2)*dx = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) = Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx A primitiva de x^n*log(x) é x^(n+1)/(n+1)*(log(x) - 1/(n+1)) + C Logo, Integral(0...1) x^n*log(x)*dx = -1/(n+1)^2 ==> Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx = -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... = -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...) A série entre parênteses não parece ter soma Pi/4, mas é muito provável que eu tenha errado alguma conta. []s, Claudio. On Tue, Aug 28, 2018 at 4:55 PM Artur Steiner <[email protected]> wrote: > Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral > > Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx > > Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se > considerarmos que (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1) dx = 0. Este fato não é > difícil de mostrar. Parcelando a segunda integral na soma de uma de (-oo a > 1] com outra de [1 a oo) e fazendo x = 1/t em uma delas, concluimos que a > integral é nula. > > Mas não vejo como esta informação possa ser utilizada na resolução da 1a.? > Não vi o argumento do Phd. > > Alguém tem alguma sugestão? A resposta é -pi/4. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
