Errei um sinal... Vamos de novo... x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = -Integral(0...1) t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2
Assim, Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 - Integral(0...1) x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*(1 - 2x^2 + 3x^4 - 4x^6 + ...)*dx - Integral(0...1) log(x)*(x^2 - 2x^4 + 3x^6 - 4x^8 + ...)*dx = Integral(0...1) log(x)*(1 - 3x^2 + 5x^4 - 7x^6 + 9x^8 - 11x^10 + ...)*dx (obs: 1/(1+x^2)^2 = 1 - 2x^2 + 3x^4 - 4x^6 + ... para -1 <= x <= 1) A primitiva de x^n*log(x) é x^(n+1)/(n+1)*(log(x) - 1/(n+1)) + C Logo, Integral(0...1) x^n*log(x)*dx = -1/(n+1)^2 ==> Integral(0...1) log(x)*(1 - 3x^2 + 5x^4 - 7x^6 + 9x^8 - 11x^10 + ...)*dx = -1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 - 1/11 + ... = - Pi/4. []s, Claudio. On Tue, Aug 28, 2018 at 9:26 PM Claudio Buffara <[email protected]> wrote: > x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) > t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2 > > Assim, > Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) > log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(0...1) > x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) (log(x)/(1+x^2)^2 + x^2*log(x)/(1+x^2)^2)*dx = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) = > Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx > > A primitiva de x^n*log(x) é x^(n+1)/(n+1)*(log(x) - 1/(n+1)) + C > > Logo, Integral(0...1) x^n*log(x)*dx = -1/(n+1)^2 ==> > Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx = > -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... = > -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...) > > A série entre parênteses não parece ter soma Pi/4, mas é muito provável > que eu tenha errado alguma conta. > > []s, > Claudio. > > > > > On Tue, Aug 28, 2018 at 4:55 PM Artur Steiner < > [email protected]> wrote: > >> Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral >> >> Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx >> >> Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se >> considerarmos que (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1) dx = 0. Este fato não é >> difícil de mostrar. Parcelando a segunda integral na soma de uma de (-oo a >> 1] com outra de [1 a oo) e fazendo x = 1/t em uma delas, concluimos que a >> integral é nula. >> >> Mas não vejo como esta informação possa ser utilizada na resolução da >> 1a.? Não vi o argumento do Phd. >> >> Alguém tem alguma sugestão? A resposta é -pi/4. >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
