Aliás, no momento eu não me lembro se os conjuntos magros são da 1a ou da 2a categoria. O G e o F de Gdelta e de Fsigma são iniciais de palavras quilométricas em alemão. A letra grega sigma geralmente significa uma característica relativa a enumerabilidade, como sigma-álgebra, sigma-finito.
Artur Costa Steiner Em seg, 27 de ago de 2018 14:45, Artur Costa Steiner <[email protected]> escreveu: > Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de > discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os > participantes desta lista são exceção. > > Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no > fato de que o conjunto das continuidades de uma função de R em R é um > Gdelta (isto é uma particularização para R de funções entre espaços > topológicos). E os racionais não sâo um Gdelta. > > Se Q fosse Gdelta, o conjunto dos irracionais I seria Fsigma e, > consequentemente, estaria contido numa união enumerável de fechados. Como I > tem interior vazio, todos estes fechados teriam interior vazio e I seria > "magro" na classificação dr Baire. Mas isto implicaria que R = I união Q > fosse magro, contrariamente ao fato de que R é um espaço de Baire. > > Uma possível prova de que o conjunto das continuidades é Gdelta baseia-se > no conceito de oscilaçào de uma função em um ponto e em um conjunto. > > Artur > > Em 27 de ago de 2018 11:03, "Claudio Buffara" <[email protected]> > escreveu: > > Acho que você foi uma exceção. > > Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é > que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e > muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil > (pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função > continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu > ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de > cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada > e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito > mais facilidade). > > Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que > seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi > "fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e > muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido > oficialmente na escola ou faculdade. > > De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de > Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma > função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos > irracionais. > > []s, > Claudio. > > > On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos <[email protected]> > wrote: > >> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não >> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x >> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si. >> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) < >> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon, >> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para >> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses >> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos >> irracionais, ao contrário da função do problema inicial. >> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de >> pontos em que a função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem >> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração. >> >> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no >> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por >> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum, >> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas >> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos >> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos >> professores e futuros professores da lista. >> >> Um abraço. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
