Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si. Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) < epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon, portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos irracionais, ao contrário da função do problema inicial. E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de pontos em que a função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum, que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos professores e futuros professores da lista. Um abraço. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
