Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os participantes desta lista são exceção.
Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no fato de que o conjunto das continuidades de uma função de R em R é um Gdelta (isto é uma particularização para R de funções entre espaços topológicos). E os racionais não sâo um Gdelta. Se Q fosse Gdelta, o conjunto dos irracionais I seria Fsigma e, consequentemente, estaria contido numa união enumerável de fechados. Como I tem interior vazio, todos estes fechados teriam interior vazio e I seria "magro" na classificação dr Baire. Mas isto implicaria que R = I união Q fosse magro, contrariamente ao fato de que R é um espaço de Baire. Uma possível prova de que o conjunto das continuidades é Gdelta baseia-se no conceito de oscilaçào de uma função em um ponto e em um conjunto. Artur Em 27 de ago de 2018 11:03, "Claudio Buffara" <[email protected]> escreveu: Acho que você foi uma exceção. Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil (pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito mais facilidade). Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi "fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido oficialmente na escola ou faculdade. De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos irracionais. []s, Claudio. On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos <[email protected]> wrote: > Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não > conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x > racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si. > Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) < > epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon, > portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para > q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses > (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos > irracionais, ao contrário da função do problema inicial. > E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de > pontos em que a função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem > medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração. > > Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no > primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por > ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum, > que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas > famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos > são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos > professores e futuros professores da lista. > > Um abraço. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
