Bom dia! Dei uma "roubadinha" e achei outra solução, pois veio de trás para a frente. Veio da observação que nas respostas u=st.
(s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1<s<t<u Como k(s,t,u) > 1 temos que k(s,t,u) >=2 e só atende quando k(s,t,u) é inteiro. Fixando-se duas váriaveis k é monótona decrescente para a outra; assim kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4. (s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 então: (u-1) | ust-1, então: (u-1) | ust -st; então (u-1) | st-1 temos que m (u-1) = st -1, (u-1) = (st-1)/m, com m inteiro. Então m < s, para que u > t. s=2, só serve m =1==> u=st. donde: (s-1)(t-1)(u-1) | (st)^2-1 ; (s-1)(t-1)(u-1) | (u-1)(st+1); (s-1)(t-1) | (st+1) (t-1)| | 2t+1; (t-1) | 3. t-1 <= 3 ==> t=4 (paridade -se uma das incógnitas for par todas serão e se uma for ímpar todas serão - e t>s) e u =st=8, que verificando atende a proposição. (2,4,8) s=3 há duas opções m=1 ou m=2 com m=1. (s-1)(t-1) | (st+1); 2(t-1) | 3t+1 ; 2(t-1) | t-1 <=4 ==> t=5 (paridade e t>s) c= st = 15 e atende a proposição (3,5,15) com m=2 u= (st-1)/2 +1 ==> (s-1)(t-1) | ((st-1)/2 +1)st -1; 2(t-1) <= (9t^2+3t)/2 -1; impossível. Logo só há as soluções anteriores (2,4,8) e (3,5,15). Saudações, PJMS. Em 26 de março de 2018 10:49, Pedro José <[email protected]> escreveu: > Bom dia! > Agora estou contente. Posso alardear que pelo menos matei um problema da > IMO. > > (s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1<s<t<u > > k(s,t,u) = (stu-1)/(s-1)(t-1)(u-1) > > Como k(s,t,u) > 1 temos que k(s,t,u) >=2 e só atende quando k(s,t,u) é > inteiro. > Fixando-se duas váriaveis k é monótona decrescente para a outra; assim > kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então > s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4. > > fazendo um estudo de paridade: se uma das variáveis for par as outras duas > também serão e k será ímpar. Se uma das variáveis for ímpar, todas serão > ímpares e k poderá ser tanto ímpar quanto par. > > u s v k > P P P I > I I I - > > s=2. k>=3 Para kmax (2,t) = k(2,t,t+1) = (2t(t+1)-1)/t(t-1)>=3 então: > 2t(t+1)/t(t-1) >3 : t < 5, pela paridade t=4 e kmax(2,4) = 47/15, só serve > k = 3. > > s=2, t=4 e k=3 temos v=8. (2,4,8) > > s=3 k>=2 Para kmax (3,t) = k(3,t,t+1) = (3t(t+1)-1)/2t(t-1)>=2 então: > 3t(t+1)/2t(t-1) >2 : t < 7, pela paridade t=5 e kmax(3,5) = 13/6, só serve > k = 2. > > s=3, t= 5 e k=2 temos v= 15. (3,5,15) > > Só atendem: (2,4,8) e (3,5,15) > > Achei curioso que em ambas soluções, u=st. > > Saudações, > PJMS > > > > Em 26 de março de 2018 09:44, Matheus Secco <[email protected]> > escreveu: > >> De fato, trata-se do problema 1 da IMO 1992. >> >> Abs, >> >> Matheus Secco >> >> Em Seg, 26 de mar de 2018 09:24, Claudio Buffara < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Muito fácil pra ser de IMO... >>> >>> 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres <[email protected]> >>> : >>> >>>> Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, >>>> quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e >>>> calcular os possiveis valores de >>>> 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar >>>> os valores de a,b,c. >>>> >>>> Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara >>>> <[email protected]> escreveu: >>>> > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... >>>> > >>>> > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: >>>> > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo) >>>> > >>>> > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a >>>> mesma >>>> > coisa, chegamos a: >>>> > stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + >>>> (s-1) + >>>> > (t-1) + (u-1) >>>> > >>>> > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: >>>> > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + >>>> > 1/((s-1)(t-1)) = k ==> >>>> > >>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + >>>> > 1/((s-1)(t-1)) = k-1 >>>> > >>>> > Agora a ideia é achar cotas para s e para k. >>>> > >>>> > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor >>>> ou >>>> > igual que: >>>> > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 >>>> > >>>> > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser >>>> igual a >>>> > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. >>>> > >>>> > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, >>>> igual >>>> > a: >>>> > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. >>>> > >>>> > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. >>>> > >>>> > s = 2 ==> >>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> >>>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> >>>> > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: >>>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> >>>> > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> >>>> > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> >>>> > t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor >>>> do que >>>> > u) >>>> > >>>> > s = 3 ==> >>>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = >>>> k-1 ==> >>>> > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> >>>> > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> >>>> > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> >>>> > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> >>>> > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) >>>> > >>>> > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 >>>> > >>>> > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX >>>> > >>>> > As únicas soluções são: >>>> > (2,4,8) e (3,5,15) >>>> > >>>> > []s, >>>> > Claudio. >>>> > >>>> > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <[email protected]>: >>>> >> >>>> >> Boa tarde! >>>> >> >>>> >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, >>>> tem um >>>> >> que achei mais interessante. >>>> >> >>>> >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 <s<t<u >>>> >> >>>> >> Saudações, >>>> >> Pedro >>>> >> >>>> >> -- >>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>>> > >>>> > >>>> > >>>> > -- >>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> > acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> ============================================================ >>>> ============= >>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> ============================================================ >>>> ============= >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
