Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e calcular os possiveis valores de 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar os valores de a,b,c.
Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... > > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo) > > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a mesma > coisa, chegamos a: > stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + (s-1) + > (t-1) + (u-1) > > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + > 1/((s-1)(t-1)) = k ==> > > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + > 1/((s-1)(t-1)) = k-1 > > Agora a ideia é achar cotas para s e para k. > > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor ou > igual que: > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 > > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser igual a > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. > > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, igual > a: > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. > > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. > > s = 2 ==> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> > t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do que > u) > > s = 3 ==> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = k-1 ==> > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) > > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 > > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX > > As únicas soluções são: > (2,4,8) e (3,5,15) > > []s, > Claudio. > > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <[email protected]>: >> >> Boa tarde! >> >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um >> que achei mais interessante. >> >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 <s<t<u >> >> Saudações, >> Pedro >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
