Bom dia! Agora estou contente. Posso alardear que pelo menos matei um problema da IMO.
(s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1<s<t<u k(s,t,u) = (stu-1)/(s-1)(t-1)(u-1) Como k(s,t,u) > 1 temos que k(s,t,u) >=2 e só atende quando k(s,t,u) é inteiro. Fixando-se duas váriaveis k é monótona decrescente para a outra; assim kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4. fazendo um estudo de paridade: se uma das variáveis for par as outras duas também serão e k será ímpar. Se uma das variáveis for ímpar, todas serão ímpares e k poderá ser tanto ímpar quanto par. u s v k P P P I I I I - s=2. k>=3 Para kmax (2,t) = k(2,t,t+1) = (2t(t+1)-1)/t(t-1)>=3 então: 2t(t+1)/t(t-1) >3 : t < 5, pela paridade t=4 e kmax(2,4) = 47/15, só serve k = 3. s=2, t=4 e k=3 temos v=8. (2,4,8) s=3 k>=2 Para kmax (3,t) = k(3,t,t+1) = (3t(t+1)-1)/2t(t-1)>=2 então: 3t(t+1)/2t(t-1) >2 : t < 7, pela paridade t=5 e kmax(3,5) = 13/6, só serve k = 2. s=3, t= 5 e k=2 temos v= 15. (3,5,15) Só atendem: (2,4,8) e (3,5,15) Achei curioso que em ambas soluções, u=st. Saudações, PJMS Em 26 de março de 2018 09:44, Matheus Secco <[email protected]> escreveu: > De fato, trata-se do problema 1 da IMO 1992. > > Abs, > > Matheus Secco > > Em Seg, 26 de mar de 2018 09:24, Claudio Buffara < > [email protected]> escreveu: > >> Muito fácil pra ser de IMO... >> >> 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres <[email protected]>: >> >>> Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, >>> quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e >>> calcular os possiveis valores de >>> 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar >>> os valores de a,b,c. >>> >>> Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara >>> <[email protected]> escreveu: >>> > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... >>> > >>> > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: >>> > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo) >>> > >>> > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a >>> mesma >>> > coisa, chegamos a: >>> > stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + >>> (s-1) + >>> > (t-1) + (u-1) >>> > >>> > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: >>> > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + >>> > 1/((s-1)(t-1)) = k ==> >>> > >>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + >>> > 1/((s-1)(t-1)) = k-1 >>> > >>> > Agora a ideia é achar cotas para s e para k. >>> > >>> > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor >>> ou >>> > igual que: >>> > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 >>> > >>> > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser >>> igual a >>> > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. >>> > >>> > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, >>> igual >>> > a: >>> > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. >>> > >>> > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. >>> > >>> > s = 2 ==> >>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> >>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> >>> > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: >>> > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> >>> > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> >>> > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> >>> > t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do >>> que >>> > u) >>> > >>> > s = 3 ==> >>> > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = >>> k-1 ==> >>> > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> >>> > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> >>> > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> >>> > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> >>> > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) >>> > >>> > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 >>> > >>> > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX >>> > >>> > As únicas soluções são: >>> > (2,4,8) e (3,5,15) >>> > >>> > []s, >>> > Claudio. >>> > >>> > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <[email protected]>: >>> >> >>> >> Boa tarde! >>> >> >>> >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem >>> um >>> >> que achei mais interessante. >>> >> >>> >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 <s<t<u >>> >> >>> >> Saudações, >>> >> Pedro >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ============================================================ >>> ============= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ============================================================ >>> ============= >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
