Os problemas 1, 3 e 4 me parecem ser consequências da "rigidez" que a diferenciabilidade complexa impõe às funções analíticas e que, pra mim, está longe de ser algo intuitivo.
Por exemplo, no problema 1, se g(z) = exp(z), então a conclusão decorre do teorema de Liouville. No caso geral, temos que lidar com os zeros de g e Liouville não se aplica (pelo menos não diretamente). No entanto, se g(z) = 0, então f(z) = 0 pela desigualdade |f(z)| <= |g(z)|. Será que essa desigualdade garante que os zeros de g(z) são singularidades removíveis de f(z)/g(z)? No problema 2, fazendo w = 1/z, obtemos o polinômio w^(n+1) + 2w - 1 e o problema passa a ser o de provar que este tem uma única raiz no interior de D(0,1). (também é preciso mostrar que P(z) não tem raízes com |z| = 1, mas isso é relativamente simples: se P(z) = 0 e |z| = 1, então z^n(z-2) = 1 ==> |z-2| = 1 ==> z = 1. Mas P(1) = -2 <> 0). O teorema de Rouché diz que, se f e g forem analíticas no fecho de D(0,1) e que se |g(w)| < |f(w)| para |w| = 1, então f e f+g têm o mesmo número de raízes no interior de D(0,1). Tomemos f(w) = 2w - 0,5 e g(w) = w^(n+1) - 0,5. Então: f(w) tem uma única raiz (igual a 0,25) no interior de D(0,1); f(w) + g(w) = w^(n+1) + 2w - 1; para |w| = 1, |g(w)| = |w^(n+1) - 0,5| <= 1 + 0,5 = 1,5, com igualdade sss w for uma raiz (n+1)-ésima de -1, |f(w)| = |2w - 0,5| >= 2 - 0,5 = 1,5, com igualdade sss w = 1. Como 1 não é uma raiz (n+1)-ésima de -1, teremos sempre a desigualdade estrita |g(w)| < |f(w)| para |w| = 1. Assim, as condições do teorema de Rouché são satisfeitas e, portanto, w^(n+1) + 2w - 1 tem o mesmo número de raízes (a saber, 1) que 2w - 0,5 no interior de D(0,1). []s, Claudio. 2018-03-21 16:32 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected]>: > 1) Mostre que, se f e g são funções inteiras tais que |f(z)| <= |g(z)| > para todo complexo z, então, também para todo z, f(z) = k g(z), onde k é > uma constante complexa. > > 2) Mostre que o polinômio P(z) = z^n (z - 2) - 1, n inteiro positivo, tem > exatamente n raízes (contando multiplicidades) no disco aberto D(0, 1). > > 3) Mostre que se f é inteira e injetora, então f é um mapeamento afim não > constante (logo, f é bijetora) > > 4) Mostre que uma função inteira é uniformemente contínua no plano se, e > somente se, for um mapeamento afim. > > Artur > > Enviado do meu iPad( > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
