Caros,
Suponhamos que b não é 0 (se for a também tem que ser). Dado p
primo, se p^k é a maior potência de p que divide b, e p^j é a maior
potência de p que divide a, como a^13=b^2001-b^90, p^(90k) é a maior
potência de p que divide a^13, ou seja, p^(90k)=p^(13j), donde
90k=13j, e logo k=13r, j=90r para algum inteiro positivo r. Assim, se
m é o produto dos primos que dividem a mas não dividem b (que em
princípio poderiam existir) pelo sinal de a (que poderia ser
negativo), devemos ter
b^2001-b^90=a^13=b^90.m^13, donde b^1911-1=m^13, ou seja,
(b^637)^3-m^3=1. Como os únicos jeitos de a diferença de dois cubos de
inteiros ser igual a 1 são 1^3-0^3 e 0^3-(-1)^3, devemos ter b^637=1 e
m=0 (donde b=1 e a=0) ou b^637=0 (donde b=0 e a=0).
Abraços,
Gugu
Quoting Pacini Bores <[email protected]>:
Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser
necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica.
Abraços
Pacini
Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José <[email protected]> escreveu:
Douglas,
desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é
a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução.
Saudações,
PJMS
Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José <[email protected]> escreveu:
Bom dia!
Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|,
está correto.
Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução
13 x - 90 y = 0.
Só que |a|^13 = b^90 ==> |b^1911-1| = 1 o que é absurdo.
então só há solução para a=0 ==> b=1.
Douglas,
(0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém
não existe divisão por zero.
a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka.
Porém, x/y ==> y ǂ 0
Saudações,
PJMS
Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima <
[email protected]> escreveu:
Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam
somente essas.
Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores <[email protected]>
escreveu:
Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado.
(a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é
um fator primo de |a|, ok ?
Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado
esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o
lado direito
não é divisível por p.
Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado
esquerdo o valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse
expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter
soluções, pois
"p" não divide o lado direito da igualdade acima.
Abraços
Pacini
Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima <
[email protected]> escreveu:
Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as
soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001.
Agradeço Desde já.
Douglas Oliveira
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