Somar complexos é completamente equivalente a somar vetores no plano. Soma nula de vetores equivale a um polígono (linha poligonal fechada). Se são 3, é um triângulo.
Qual é o triângulo de lados congruentes? [], Leo. 2014-12-06 15:40 GMT-02:00 Artur Steiner <[email protected]>: > Os 3 complexos estão sobre a circunferência unitária de centro na origem. > Através de uma mesma rotação em cada um dos vetores correspondentes aos > mesmos, podemos fazer com que um deles coincida com o real 1. Como os novos > complexos continuam na circunferência unitária e as distância entre eles > permanecem iguais às distâncias entre os complexos originais, podemos > admitir, sem perda de generalidade, que z3 = 1, que tem argumento nulo. > > Sendo a1 e a2 os argumentos de z1 e de z2, temos então que > > cos(a1) + cos(a2) = -1 > sen(a1) + sen(a2) = 0 > > Da 2a equação, temos que a2 = -a2 ou que a2 = pi + a1. Mas como esta > segunda opção zera o 1o membro da 1a equação, temos que a2 = -a1. Isto > conduz a que cos(a1) = -1/2. > > Concluímos assim que ou a1 = 2pi/3 e a2 = -2pi/3 ou o contrário. Em ambos > os casos, temos exatamente os mesmos complexos, só mudam seus índices. > > Assim, os vetores destes 3 complexos estão igualmente defasados de 2pi/3. > Logo, os respectivos afixos formam um triângulo equilátero. > > Artur Costa Steiner > > Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz <[email protected]> > escreveu: > > Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da > circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas > como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? > > *Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que* > > *z1 + z2 + z3 = 0* > > *|z1| = |z2| = |z3| = 1* > > *Então, geometricamente, temos:* > > *A) Uma reta;* > > *xB) Um triângulo equilátero;* > > *C) Um triângulo retângulo;* > > *D) Um único ponto;* > *E) Nenhuma das alternativas anteriores.* > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
