Os 3 complexos estão sobre a circunferência unitária de centro na origem. Através de uma mesma rotação em cada um dos vetores correspondentes aos mesmos, podemos fazer com que um deles coincida com o real 1. Como os novos complexos continuam na circunferência unitária e as distância entre eles permanecem iguais às distâncias entre os complexos originais, podemos admitir, sem perda de generalidade, que z3 = 1, que tem argumento nulo.
Sendo a1 e a2 os argumentos de z1 e de z2, temos então que cos(a1) + cos(a2) = -1 sen(a1) + sen(a2) = 0 Da 2a equação, temos que a2 = -a2 ou que a2 = pi + a1. Mas como esta segunda opção zera o 1o membro da 1a equação, temos que a2 = -a1. Isto conduz a que cos(a1) = -1/2. Concluímos assim que ou a1 = 2pi/3 e a2 = -2pi/3 ou o contrário. Em ambos os casos, temos exatamente os mesmos complexos, só mudam seus índices. Assim, os vetores destes 3 complexos estão igualmente defasados de 2pi/3. Logo, os respectivos afixos formam um triângulo equilátero. Artur Costa Steiner > Em 06/12/2014, às 14:38, Vanderlei Nemitz <[email protected]> escreveu: > > Pessoal, consegui responder a questão supondo um z1 em particular da > circunferência de raio 1 e centro na origem e determinando os demais. Mas > como provar genericamente que são vértices de um triângulo equilátero? > > Sejam três números complexos z1, z2 e z3 tal que > z1 + z2 + z3 = 0 > |z1| = |z2| = |z3| = 1 > Então, geometricamente, temos: > A) Uma reta; > xB) Um triângulo equilátero; > C) Um triângulo retângulo; > D) Um único ponto; > E) Nenhuma das alternativas anteriores. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
