Vou fazer algumas 1) Para n = 2, 1 + 2^n = 5 < 9 = 3^n, de modo que a condição é válida.
Supondo-se que seja verdadeira para n = k >=2, temos que 3^(k + 1) = 3. 3^k > 3(1 + 2^k) = 3 + 3. 2^k > 1 + 2. 2^k = 1 + 2^(k + 1) Logo, a condição vale para n = k + 1, completando a indução. 2. Para n = 1, 5^n - 1 = 4, de modo que a condição é válida. Supondo-se que seja verdadeira para n = k >=1, temos que 5^(k + 1) - 1 - (5^k - 1) = 5. 5^k - 5^k = 5(5^k - 1) 5^(k + 1) - 1 = (5^k - 1) + 5(5^k - 1) = 6(5^k - 1) Pela hipótese indutiva, segue-se que 5^(k + 1) - 1 é divisível por 4. Logo, a condição vale para n = k + 1, completando a indução. Artur Costa Steiner > Em 20/09/2014, às 18:23, Daniel Rocha <[email protected]> escreveu: > > Olá amigos, >  > Eu gostaria de, POR FAVOR, obter as soluções das seguintes questões: >  > 1) Prove por indução que 1 + 2^n < 3^n, para n igual ou maior que 2. >  > 2) Prove por indução que 5^n - 1 é divisÃvel por 4, para n=1,2,3,4,..... >  > 3) Prove por indução em n que o conjunto de palavras (a + ab)^n, para > n=1,2,3,4,..... é formado por todas as palavras que começam com a e não > tem b's consecutivos. >  > 4) Seja X={n^3 + 3(n^2) + 3n com n igual ou maior que 0} e Y={3n - 1 com > n>0}. Prove que X=Y. >  > 5) Quem tem mais elementos, o conjunto dos números pares, ou o conjunto dos > números Ãmpares? Justifique. >  > Pessoal, essas são as questões. >  > Eu aguardo sua resposta. > Um abraço. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
