Eu fui direto ao cálculo de f(f(x)) = x. Nisto (((x+a)/(x+b))+a)/(((x+a)/(x+b))+b)=x, substituições sucessivas.
Fiz sem levar em conta o f(-b) = -1. Existe uma teoria que usa uma notação matricial em expressões do tipo (ax+b)/(cx+d), melhor (az+b)/(cz+d), que embora o contexto seja de números complexos, dá certo usar produtos sucessivos de matrizes no caso de em (ax+b)/(cx+d) querer substituir x por (a'x'+b')/(c'x'+d'). Com x diferente de (-d/c) e x' diferente de (-d'/c'), que é onde o denominador se anula. (ax+b)/(cx+d) em forma de matriz fica [a b] [c d] (x+a)/(x+b) em forma de matrix fica [1 a] [1 b] apenas x fica [1 0] [0 1] que é (x+0)/(0x+1) Neste caso, aqui no problema proposto encontrei a=0 e b=-1, sem considerar f(-b). Em Thu, 18 Sep 2014 12:58:20 -0300 Gabriel Lopes <[email protected]> escreveu: > Fiquei sem entender sua explicação , poderia elaborar um pouco mais? > > Pensei no seguinte: > > > Observe que : > > (x+a)/(x+a) = 1 , se x é > diferente de -b > a = b ==> f (x) = > -1 , se x é > igual a -b > > > > Temos então uma contradição pois : f(f(x)) = x . Donde a é > diferente de b . > > > Mas : > > f(f(-a)) = f(0) = -a , (substituindo em : (x+a)/(x+b) ) . > > e: > > f(f(-b)) = f(-1) = -b > > > Donde: > > (a/b) = -a , se 0 é diferente de -b > f(0) = > -1 = -a , se 0 é igual a -b . > > > Portanto : > > f(f(-a)).f(f(-b)) = (-a).(-b) = ab = f(0).(-b) , donde: > > > ab = -a , se 0 é diferente de -b > > ab = a.0 = b = -1(-b) = 0 , se 0 é igual a -b . > > > Em 18 de setembro de 2014 06:07, Listeiro 037 > <[email protected]> escreveu: > > > > > A função aplicada à ela mesma. Pode ser feito assim? > > Produto de duas matrizes 2x2 igualado à matriz identidade 2x2? > > > > [1 a; 1 b] [1 a; 1 b] = [1 0; 0 1] > > > > [1 a] [1 a] [1 0] > > [1 b] [1 b] [0 1] > > > > [1+a a+ab; 1+b a+b^2] > > > > [1+a a+ab ] > > [1+b a+b^2] > > > > Aparentemente a=0 e b=1. > > > > > > Em Wed, 17 Sep 2014 09:30:08 -0300 > > Gabriel Lopes <[email protected]> escreveu: > > > > > Seja f: R --> R , uma função definida por : > > > > > > > > > (x+a)/(x+b) , se x é diferente de -b > > > f(x) = > > > -1 , se x é igual a -b > > > > > > > > > > > > Se f(f(x)) = x , para todo x real , encontre o valor de ab . > > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > ========================================================================= > > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > > -- Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. — Edward Snowden -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
