Para as outras duas, a única coisa que me vem à mente é: substitua x por 1/(1-x) ou o que valha.
Em 29 de junho de 2013 22:56, terence thirteen <[email protected]>escreveu: > Eu já fiz este problema uma vez. > > A ideia é reduzir a função para inteiros positivos, ou mais ainda, para os > primos somente. > > Se provar que F é estritamente multiplicativa, basta calcular F nos > primos. OU MELHOR, construir uma F para os primos. > > > Em 29 de junho de 2013 21:08, João Maldonado > <[email protected]>escreveu: > > Eu fiz assim: >> >> f(x f(y)) = f(x)/y >> >> se x=1: f(f(y)) = f(1)/y >> suponha f(a) = f(b) -> f(f(a)) = f(f(b)) -> f(1)/a = f(1)/b -> a=b, >> daonde vem que f é injetora >> >> se x = 0, f(0) = f(0)/y, qualquer que seja y, daonde vem que f(0) = 0 >> se y = 1, f(x f(1)) = f(x), mas como f é injetora, x f(1) = x, f(1) = 1 >> daonde vem f(f(x)) = 1/x e f(f(f(f(x)))) = x (como você disse) >> >> como 1/x pode assumir qualquer valor real, f é sobrejetora, faça y = f(a) >> f(x f(f(a))) = f(x)/f(a) >> f(x/a) = f(x)/f(a) -> f(x/a) f(a) = f(x) >> Faça x/a = b, f(a) f(b) = f(a b) >> >> se b=a, f(a²) = f(a)² >> se b = a², f(a³) = f(a²)f(a) = f(a)³ >> suponha f(a^n) = f(a)^n, faça b = a^n >> f(a^(n+1)) = f(a^n)f(a) = a^(n+1) >> >> Logo f(a^n) = f(a)^n para n inteiro positivo >> Fazendo a = b^(1/n) >> f(b) = f(b^(1/n))^n -> f(b^(1/n)) = f(b)^(1/n) >> fazendo n = q e b = x^p >> f(x^(p/q)) = f(x^p)^(1/q) = f(x)^(p/q) >> Logo f(x^n) = f(x) ^n, para n racional positivo (como eu estendo para os >> reais???) >> >> Tome um k qualquer diferente de 1, seja z = Log[f(k), k], log de f(k) na >> base k, f(k) = k^z >> Seja n = Log[x, k] >> f(x) = f(k)^Log[x, k] = k^(z Log[x, k]) = x^z >> Logo f(x) = x^z >> >> Pelo que eu vejo, se eu considerar f contínua, os reais teriam a mesma >> propriedade dos racionais, e eu diria que x^z é a única função que >> satisfaz a multiplicativa. Como eu sei que existem mais soluções para a >> equação de Cauchy, eu diria que a solução do exercício é descontínua, >> gerando uma função da forma: >> f(x) = a, se x satisfaz... >> f(x) = b, se x satisfaz... >> >> Mas eu não tenho idéia de como posso criar uma função desse tipo. >> Você disse em trabalhar com os primos, como eu posso fazer isso? (minha >> teoria dos números é péssima... ) >> >> Obrigado >> João >> >> >> > Date: Sat, 29 Jun 2013 19:01:26 -0300 >> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equações funcionais >> > From: [email protected] >> > To: [email protected] >> >> > >> > 2013/6/29 João Maldonado <[email protected]>: >> > > Meu professor me passou uma lista de equações funcionais e teve 3 >> problemas >> > > que eu não consegui fazer, ficaria grato se vocês me dessem uma mão >> > > >> > > 3) (IMO) Seja Q+ o conjunto dos reais positivos. Construa uma função >> f:Q+ -> >> > > Q+ tal que f(x f(y)) = f(x)/y, qualquer que seja x e y pertencentes Q+ >> > > DICAS: >> > > a) Prove que a função é injetora >> > > b) Prove que a função é multiplicativa >> > > >> > > No terceiro eu consegui provar que a função é injetora e bijetora, e >> com >> > > isso consegui provar que também é multiplicativa, ou seja, f(a.b) = >> > > f(a).f(b) >> > > Mas daí eu apliquei a quarta equação funcional de Cauchy, que tem como >> > > solução f(x) = x^k, achando k = i, absurdo >> > >> > Na verdade, você achou que f(f(f(f(x)))) = x, né? (f composta 4 vezes) >> > E também f(f(x)) nem sempre é igual a x, então não dá uma função tão >> > simples como f(x) = 1/x, que é a tentativa inicial (pelo menos pra >> > mim). >> > >> > > Eu andei pesquisando na internet e vi que existem outras soluções >> para a >> > > equação de Cauchy além da trivial, e x^k obviamente não dá certo. Como >> > > poderia construir uma função que satisfaça o exercício? >> > >> > Como f é multiplicativa, basta ver como ela funciona nos números >> > primos, e como ela funciona para inversos (multiplicativos) f(1/x) = ? >> > Daí, tente achar um jeito de "driblar" a "raiz quarta da unidade". >> > >> > -- >> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> ========================================================================= >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > >> ========================================================================= >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
