2013/6/29 João Maldonado <[email protected]>: > Meu professor me passou uma lista de equações funcionais e teve 3 problemas > que eu não consegui fazer, ficaria grato se vocês me dessem uma mão > > 3) (IMO) Seja Q+ o conjunto dos reais positivos. Construa uma função f:Q+ -> > Q+ tal que f(x f(y)) = f(x)/y, qualquer que seja x e y pertencentes Q+ > DICAS: > a) Prove que a função é injetora > b) Prove que a função é multiplicativa > > No terceiro eu consegui provar que a função é injetora e bijetora, e com > isso consegui provar que também é multiplicativa, ou seja, f(a.b) = > f(a).f(b) > Mas daí eu apliquei a quarta equação funcional de Cauchy, que tem como > solução f(x) = x^k, achando k = i, absurdo
Na verdade, você achou que f(f(f(f(x)))) = x, né? (f composta 4 vezes) E também f(f(x)) nem sempre é igual a x, então não dá uma função tão simples como f(x) = 1/x, que é a tentativa inicial (pelo menos pra mim). > Eu andei pesquisando na internet e vi que existem outras soluções para a > equação de Cauchy além da trivial, e x^k obviamente não dá certo. Como > poderia construir uma função que satisfaça o exercício? Como f é multiplicativa, basta ver como ela funciona nos números primos, e como ela funciona para inversos (multiplicativos) f(1/x) = ? Daí, tente achar um jeito de "driblar" a "raiz quarta da unidade". -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
