Meu professor me passou uma lista de equações funcionais e teve 3 problemas que
eu não consegui fazer, ficaria grato se vocês me dessem uma mão
1) f: R - {0, +-1, 1/2, 2} -> R e f(x) -x/(x+1) f(1 - 1/x) = 1/(1-x)
2) f: R - {1} -> R e f(x) + f(1/(1-x)) = x
3) (IMO) Seja Q+ o conjunto dos reais positivos. Construa uma função f:Q+ -> Q+
tal que f(x f(y)) = f(x)/y, qualquer que seja x e y pertencentes Q+
DICAS:
a) Prove que a função é injetora
b) Prove que a função é multiplicativa
No terceiro eu consegui provar que a função é injetora e bijetora, e com isso
consegui provar que também é multiplicativa, ou seja, f(a.b) = f(a).f(b)
Mas daí eu apliquei a quarta equação funcional de Cauchy, que tem como solução
f(x) = x^k, achando k = i, absurdo
Eu andei pesquisando na internet e vi que existem outras soluções para a
equação de Cauchy além da trivial, e x^k obviamente não dá certo. Como poderia
construir uma função que satisfaça o exercício?
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