Eu já fiz este problema uma vez. A ideia é reduzir a função para inteiros positivos, ou mais ainda, para os primos somente.
Se provar que F é estritamente multiplicativa, basta calcular F nos primos. OU MELHOR, construir uma F para os primos. Em 29 de junho de 2013 21:08, João Maldonado <[email protected]>escreveu: > Eu fiz assim: > > f(x f(y)) = f(x)/y > > se x=1: f(f(y)) = f(1)/y > suponha f(a) = f(b) -> f(f(a)) = f(f(b)) -> f(1)/a = f(1)/b -> a=b, daonde > vem que f é injetora > > se x = 0, f(0) = f(0)/y, qualquer que seja y, daonde vem que f(0) = 0 > se y = 1, f(x f(1)) = f(x), mas como f é injetora, x f(1) = x, f(1) = 1 > daonde vem f(f(x)) = 1/x e f(f(f(f(x)))) = x (como você disse) > > como 1/x pode assumir qualquer valor real, f é sobrejetora, faça y = f(a) > f(x f(f(a))) = f(x)/f(a) > f(x/a) = f(x)/f(a) -> f(x/a) f(a) = f(x) > Faça x/a = b, f(a) f(b) = f(a b) > > se b=a, f(a²) = f(a)² > se b = a², f(a³) = f(a²)f(a) = f(a)³ > suponha f(a^n) = f(a)^n, faça b = a^n > f(a^(n+1)) = f(a^n)f(a) = a^(n+1) > > Logo f(a^n) = f(a)^n para n inteiro positivo > Fazendo a = b^(1/n) > f(b) = f(b^(1/n))^n -> f(b^(1/n)) = f(b)^(1/n) > fazendo n = q e b = x^p > f(x^(p/q)) = f(x^p)^(1/q) = f(x)^(p/q) > Logo f(x^n) = f(x) ^n, para n racional positivo (como eu estendo para os > reais???) > > Tome um k qualquer diferente de 1, seja z = Log[f(k), k], log de f(k) na > base k, f(k) = k^z > Seja n = Log[x, k] > f(x) = f(k)^Log[x, k] = k^(z Log[x, k]) = x^z > Logo f(x) = x^z > > Pelo que eu vejo, se eu considerar f contínua, os reais teriam a mesma > propriedade dos racionais, e eu diria que x^z é a única função que > satisfaz a multiplicativa. Como eu sei que existem mais soluções para a > equação de Cauchy, eu diria que a solução do exercício é descontínua, > gerando uma função da forma: > f(x) = a, se x satisfaz... > f(x) = b, se x satisfaz... > > Mas eu não tenho idéia de como posso criar uma função desse tipo. > Você disse em trabalhar com os primos, como eu posso fazer isso? (minha > teoria dos números é péssima... ) > > Obrigado > João > > > > Date: Sat, 29 Jun 2013 19:01:26 -0300 > > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equações funcionais > > From: [email protected] > > To: [email protected] > > > > > 2013/6/29 João Maldonado <[email protected]>: > > > Meu professor me passou uma lista de equações funcionais e teve 3 > problemas > > > que eu não consegui fazer, ficaria grato se vocês me dessem uma mão > > > > > > 3) (IMO) Seja Q+ o conjunto dos reais positivos. Construa uma função > f:Q+ -> > > > Q+ tal que f(x f(y)) = f(x)/y, qualquer que seja x e y pertencentes Q+ > > > DICAS: > > > a) Prove que a função é injetora > > > b) Prove que a função é multiplicativa > > > > > > No terceiro eu consegui provar que a função é injetora e bijetora, e > com > > > isso consegui provar que também é multiplicativa, ou seja, f(a.b) = > > > f(a).f(b) > > > Mas daí eu apliquei a quarta equação funcional de Cauchy, que tem como > > > solução f(x) = x^k, achando k = i, absurdo > > > > Na verdade, você achou que f(f(f(f(x)))) = x, né? (f composta 4 vezes) > > E também f(f(x)) nem sempre é igual a x, então não dá uma função tão > > simples como f(x) = 1/x, que é a tentativa inicial (pelo menos pra > > mim). > > > > > Eu andei pesquisando na internet e vi que existem outras soluções para > a > > > equação de Cauchy além da trivial, e x^k obviamente não dá certo. Como > > > poderia construir uma função que satisfaça o exercício? > > > > Como f é multiplicativa, basta ver como ela funciona nos números > > primos, e como ela funciona para inversos (multiplicativos) f(1/x) = ? > > Daí, tente achar um jeito de "driblar" a "raiz quarta da unidade". > > > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
