Uma outra abordagem, específica para a função dada, é a seguinte: Sendo T > 0, a equação cos(raiz(x + T)) = cos(raiz(x)) equivale a
cos(raiz(x + T)) - cos(raiz(x)) = 0 -2 sen((raiz(x + T) - raiz(x))/2) sen((raiz(x + T) + raiz(x))/2) = 0 sen((raiz(x + T) - raiz(x))/2) sen((raiz(x + T) + raiz(x))/2) = 0 Para que T seja período, a última igualdade acima tem que valer para todo x >= 0. Logo, para todo x > = 0, pelo menos um dos dois fatores tem que ser nulo. A função x --> ((raiz(x + T) - raiz(x))/2 é sempre positiva e decresce para 0 à media que x vai para oo. Assim, para x suficientemente grande seu valor u estará em (0, pi/4) e teremos sen(u) > 0. Logo, a igualdade acima será uma identidade somente se, para x suficientemente grande, o segundo fator for nulo. Isto implica a existência de um k tal que, para x > k, (raiz(x + T) + raiz(x))/2 seja múltiplo inteiro de pi, o que é claramente impossível. Basta ver que a função x --> (raiz(x + T) + raiz(x))/2 é contínua e vai para oo com x, assumindo assim, em todo o semi eixo não negativo,uma infinidade de valores que não são múltiplos inteiros de pi. Assim, nenhum T > 0 atende ao requisito para ser período de f(x) = sen(raiz(x)). Artur Costa Steiner Em 08/03/2013, às 15:52, marcone augusto araújo borges <[email protected]> escreveu: > O objetivo dessa questao é demonstrar que f(x) = cos(x^1/2),x > = 0,não é > periódica,ou seja,não existe nenhum numero > real positivo T tal que cos[(x+T)]^1/2 = cos(x^1/2) para todo x > = 0. > > a) Encontre todos os valores de T > = 0 para os quais f(T) = f(0) e,a seguir > encontre todos os valores de T > = 0 para os quais > f(T) = f(2T) > > b) use o ítem a para mostrar que f(x) não é periodica
