Eu vou usar um outro argumento, de caráter geral. Antes, vejamos o seguinte lema:
Seja f de R em R, ou de [0, oo) em R, uma função periódica e não constante. Para todo a > 0, a <> 1,a função g(x) = f(x^a) não é uniformemente contínua. Prova: Sabemos que uma função g é uniformemente contínua em seu domínio se, e somente se, para todas sequências (u_n) e (v_n) no domínio de g tais que u_n - v_n --> 0, tivermos que g(u_n) - g(v_n) --> 0. Consideremos inicialmente o caso a > 1. Sendo p > 0 um período qualquer de f, definamos (u_n) e (v_n) por u_n = (np + u)^(1/a) e v_n = (np + v)^(1/a), onde u e v são reais tais que f(u) <> f(v) (como f não é constante, este números existem). Como a > 1, 0 < 1/a < 1, o que implica que u_n - v_n --> 0 (isto pode ser deduzido da definição da função potência). Entretanto, para todo n, g(u_n) - g(v_n) = f((u_n)^a) - f((v_n)^a) = f(np + u) - f(np + v) = f(u) - f(v), pois p é período de f. Logo, g(u_n) - g(v_n) converge trivialmente para f(u) - f(v) <> 0. Isto nos mostra que g não é uniformemente contínua em R. Na abordagem a seguir, consideramos o fato de que funções contínuas e periódicas são uniformemente contínuas. Suponhamos agora que, além de periódica e não constante, f seja contínua. Então, f é uniformemente contínua e g é contínua (composição das funções contínuas f e x--> x^a). Se g for periódica, então g, contrariamente ao lema que demonstramos, é uniformemente contínua. Desta contradição, deduzimos que g não é periódica. Supondo novamente f contínua, periódica e não constante, consideremos agora o caso a em (0, 1). Então, g não pode ser constante, pois a função não negativa x --> x^a é uma bijeção. Admitamos que g seja periódica. Como 1/a > 1, temos do caso anterior que f, dada por f(x) = g(x^(1/a)), não é uniformemente contínua., Uma contradição. Logo, g não é periódica. Verificamos assim, que, se f for contínua, periódica e não constante, então pata todo a > 0, a <> 1, g não é periódica. Na sua questão, temos o caso particular para f(x) = cos(x) e a = 1/2. Abraços Artur Costa Steiner Em 08/03/2013, às 22:58, Márcio Pinheiro <[email protected]> escreveu: > Basta resolver a equação cos ((x + t)^1/2) = cos (x^1/2), supondo, > inicialmente, que f é periódica, para concluir que, em qualquer solução, t > depende de x. Logo, f não pode ser periódica, pois, se fosse, deveria haver t > > 0, independente de x (ponto de partida), tal que f (x + t) = f (x), para > todo x, isto é, não importa qual seja x. > > From: [email protected] > To: [email protected] > Subject: [obm-l] Função trigonométrica sem período > Date: Fri, 8 Mar 2013 18:52:48 +0000 > > O objetivo dessa questao é demonstrar que f(x) = cos(x^1/2),x > = 0,não é > periódica,ou seja,não existe nenhum numero > real positivo T tal que cos[(x+T)]^1/2 = cos(x^1/2) para todo x > = 0. > > a) Encontre todos os valores de T > = 0 para os quais f(T) = f(0) e,a seguir > encontre todos os valores de T > = 0 para os quais > f(T) = f(2T) > > b) use o ítem a para mostrar que f(x) não é periodica
