Caramba! Muito interessante... gostei mesmo! Não conheço análise complexa, mas me motivou a ler um bocado sobre o logaritmo e a raíz quadrada no domínio dos complexos. Bom.. leitura de Wikipedia, mas "aprendi" um bocado.
Valeu! :) Abraços, Salhab 2011/5/27 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> > 2011/5/27 Merryl M <[email protected]>: > > Boa tarde amigos > Boa tarde (ou dia, ou noite, sei lá em que fuso vocês vivem), > > Apertem os cintos, afiem o raciocínio, a análise vai começar. > > > Estou me iniciando em análise complexa e estou com dificuldade nisto > aqui. > > > > Mostre que não existe nenhuma função inteira f tal que e^(f(z)) = z para > > todo z <> 0. > Bom eu vou assumir que você quis dizer holomorfa. Porque inteira (ou > seja, definida em TODOS os números complexos) não pode dar certo. Veja > só, se f é inteira (enfim, basta holormorfa em 0), ela é definida (ou > seja, assume algum valor em C) e contínua em 0. Daí, e^(f(z)) também é > contínua em 0. Isso quer dizer que e^(f(0)) = 0, mas isso a gente já > sabe que não dá. > > Na verdade, eu vou assumir mais: eu acho que você quis dizer > "holomorfa em C - {0}". > > > O que eu concluí é que, para todo z não nulo, temos pela regra da cadeia > que > > e^(f(z)) f'(z) = 1 e, portanto, f'(z) = 1/(e^f(z)) = 1/z. Bom, até aí > morreu > > Neves, né? Não fiz nada de interessante. Isto representa uma contradição? > Ainda não. Mas pode começar por aqui sim. > > > Na reta real, não é nenhuma contradição, mas como nos complexos temos > > várias ramificações para o logaritmo, talvez seja por aí. > É por aí mesmo, enfim, pelo menos a mim parece. > > > Não estou vendo. Podem ajudar? > Bom, com o que você fez, eu acho que o melhor é olhar para a equação > diferencial f'(z) = 1/z mesmo. Mas em vez de olhar na reta real (que > como você mesma disse, não apresenta problemas), vou olhar na direção > transversa. E essa direção transversa é (de certa forma) um círculo em > volta da origem. O que vai começar a fazer a ponte para as várias > definições do logaritmo. > > O círculo é parametrizado por t -> exp(it), ou e^it para abreviar. > > Chame g(t) = f(e^it). > Vamos lá: f'(e^it) = 1/e^it = e^(-it). Isso deve ajudar a obter uma > equação diferencial para g. > g'(t) = (Regra da cadeia) f'(e^it) * i e^it = i. > > Para resolver essa eq. diferencial, temos que achar g(0). Mas e^f(1) = > 1, logo f(1) = 2ki pi para algum k inteiro. E g(0) = f(1). > Assim, g(t) = i(2k pi + t). > > Muito bem, né? Parece que tá tudo bem. Mas, na verdade, não. Note que > g(0) = f(1), mas g(2pi) = f(1) também ! (e g(246747654908 pi), etc, > etc). Ora, isso quer dizer que 2ki pi = g(0) = f(1) = g(2pi) = 2(k+1)i > pi. Pára tudo! Absurdo. Assim, não existe uma função definida no > círculo unitário que satisfaça a equação funcional que você deu. Na > verdade, não existe função definida em nada que "dê uma volta em torno > da origem" que satisfaça, mais ou menos pela mesma razão: se você for > "seguindo a equação diferencial", você vai "seguindo" um ramo do > logaritmo, mas quando você terminar a sua volta, você vai estar no > "ramo seguinte", e daí vai ser impossível que a sua função seja > definida. > > > Análise complexa não aparece muito aqui na lista, mas sei que nosso amigo > > Bernardo, nosso São Bernardo da matemática conhece muito. > Obrigado pelo cumprimento, mas eu aproveito para dar umas dicas a mais > sobre o problema para mostrar que, na verdade, ele não tem muito de > análise complexa, mas de homotopia. (Mesmo que a homotopia seja > super-útil em análise complexa, e tenha sido inventada para ajudar a > entender um monte de fenômenos que apareceram pela primeira vez em > complexa) > > O problema que você falou (as múltiplas determinações do logaritmo), é > um problema puramente "topológico". É porque você tem uma função que > "dá uma volta" na origem e não volta no mesmo lugar, mas "2pi depois". > Isso é um fenômeno típico de (inversas) de funções periódicas. Sim, > sim, a exponencial é periódica, mesmo que a primeira vez que a gente > descobre isso soe um pouco estranho. Aliás, isso "explica" porque o > seno, cosseno, são periódicas também :). Voltando ao nosso problema, > você quer construir a função inversa da exponencial. Mas a função é > periódica, daí não dá. (pense assim, você tem que botar alguma > restrição também quando você constrói arcsin. Ou a raiz quadrada...). > A grande sacada dos analistas (hoje a gente os chamaria de > "topólogos", mas na época era "Analisis situs", como escrevia o > Poincaré) foi ver que esses problemas de periodicidade têm > contrapartidas que dependem unicamente da estrutura do seu "espaço > topológico" (o que eles chamaram de "1-conexidade"), e portanto, a > verdadeira restrição à sua questão não é "f uma função holomorfa em C > - {0}", mas sim "f contínua num domínio que dê uma volta em torno da > origem" (a tradução da parte de "1-conexo" para o problema particular > da exponencial). Talvez (talvez) exista uma demonstração mais rápida > de que seja impossível usando o fato de f ser holomorfa. A > demonstração que eu dei, basta que f seja diferenciável (o que não é > grandes coisas mais geral: sendo diferenciável, derivando a equação > funcional como você fez prova que f é holomorfa) num caminho > diferenciável também. > > Final da história (do século XIX): esse problema de "extensão de > funções analíticas" obrigou os analistas a desenvolverem a topologia e > a geometria diferencial, gerando o que se chama hoje em dia de > "Superfícies de Riemann", objetos bem adaptados para você poder > estudar corretamente essas inversas. Assim, você tem uma espiral > infinita (sem o 0) que serve para você estudar o logaritmo, e assim, > quando você dá uma volta, você pode continuar "2pi i pra frente", e o > logaritmo está bem definido em todos os pontos, porque a "altura na > espiral" diz a que "altura" no eixo imaginário você está. Essas > superfícies foram generalizadas para as "variedades diferenciáveis", e > também foram o ponto de partida para Poincaré definir a homologia... > mas eu estou entrando no século XX, e é melhor parar por aqui. > > Dicas de leitura finais: eu recomendo bastante conhecer a teoria dos > espaços (e aplicações) de recobrimento, que vai falar sobre homotopia, > e problemas de você construir funções contínuas de um conjunto em > outro. A exponencial é o primeiro exemplo da teoria, e muitas coisas > muito bonitas decorrem de um estudo destas aplicações, uma delas de > análise complexa (para não fugir ao tema) é o teorema de Picard: > > Se f é uma função inteira (holomorfa e definida em C, ou seja, uma > série de potências convergente em todos os pontos de C) e que 0 e 1 > não estão na imagem de f, então f é constante. A demonstração original > desse teorema (por Picard) usa um monte de coisas bonitas de análise > complexa (a função modular em particular) para provar que o disco > unitário do plano é um recobrimento (holomorfo) de C - {0,1} e que > portanto a sua função f pode ser "fatorada" passando primeiro pelo > disco e depois sendo enviada em C - {0,1}. Mas uma função inteira cuja > imagem está contida no disco unitário é limitada (claro!) e por > Liouville, constante. > > > Obrigada > > Amanda > > Bons estudos, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= >
