2011/5/27 Merryl M <[email protected]>:
> Boa tarde amigos
Boa tarde (ou dia, ou noite, sei lá em que fuso vocês vivem),
Apertem os cintos, afiem o raciocínio, a análise vai começar.
> Estou me iniciando em análise complexa e estou com dificuldade nisto aqui.
>
> Mostre que não existe nenhuma função inteira f tal que e^(f(z)) = z para
> todo z <> 0.
Bom eu vou assumir que você quis dizer holomorfa. Porque inteira (ou
seja, definida em TODOS os números complexos) não pode dar certo. Veja
só, se f é inteira (enfim, basta holormorfa em 0), ela é definida (ou
seja, assume algum valor em C) e contínua em 0. Daí, e^(f(z)) também é
contínua em 0. Isso quer dizer que e^(f(0)) = 0, mas isso a gente já
sabe que não dá.
Na verdade, eu vou assumir mais: eu acho que você quis dizer
"holomorfa em C - {0}".
> O que eu concluí é que, para todo z não nulo, temos pela regra da cadeia que
> e^(f(z)) f'(z) = 1 e, portanto, f'(z) = 1/(e^f(z)) = 1/z. Bom, até aí morreu
> Neves, né? Não fiz nada de interessante. Isto representa uma contradição?
Ainda não. Mas pode começar por aqui sim.
> Na reta real, não é nenhuma contradição, mas como nos complexos temos
> várias ramificações para o logaritmo, talvez seja por aí.
É por aí mesmo, enfim, pelo menos a mim parece.
> Não estou vendo. Podem ajudar?
Bom, com o que você fez, eu acho que o melhor é olhar para a equação
diferencial f'(z) = 1/z mesmo. Mas em vez de olhar na reta real (que
como você mesma disse, não apresenta problemas), vou olhar na direção
transversa. E essa direção transversa é (de certa forma) um círculo em
volta da origem. O que vai começar a fazer a ponte para as várias
definições do logaritmo.
O círculo é parametrizado por t -> exp(it), ou e^it para abreviar.
Chame g(t) = f(e^it).
Vamos lá: f'(e^it) = 1/e^it = e^(-it). Isso deve ajudar a obter uma
equação diferencial para g.
g'(t) = (Regra da cadeia) f'(e^it) * i e^it = i.
Para resolver essa eq. diferencial, temos que achar g(0). Mas e^f(1) =
1, logo f(1) = 2ki pi para algum k inteiro. E g(0) = f(1).
Assim, g(t) = i(2k pi + t).
Muito bem, né? Parece que tá tudo bem. Mas, na verdade, não. Note que
g(0) = f(1), mas g(2pi) = f(1) também ! (e g(246747654908 pi), etc,
etc). Ora, isso quer dizer que 2ki pi = g(0) = f(1) = g(2pi) = 2(k+1)i
pi. Pára tudo! Absurdo. Assim, não existe uma função definida no
círculo unitário que satisfaça a equação funcional que você deu. Na
verdade, não existe função definida em nada que "dê uma volta em torno
da origem" que satisfaça, mais ou menos pela mesma razão: se você for
"seguindo a equação diferencial", você vai "seguindo" um ramo do
logaritmo, mas quando você terminar a sua volta, você vai estar no
"ramo seguinte", e daí vai ser impossível que a sua função seja
definida.
> Análise complexa não aparece muito aqui na lista, mas sei que nosso amigo
> Bernardo, nosso São Bernardo da matemática conhece muito.
Obrigado pelo cumprimento, mas eu aproveito para dar umas dicas a mais
sobre o problema para mostrar que, na verdade, ele não tem muito de
análise complexa, mas de homotopia. (Mesmo que a homotopia seja
super-útil em análise complexa, e tenha sido inventada para ajudar a
entender um monte de fenômenos que apareceram pela primeira vez em
complexa)
O problema que você falou (as múltiplas determinações do logaritmo), é
um problema puramente "topológico". É porque você tem uma função que
"dá uma volta" na origem e não volta no mesmo lugar, mas "2pi depois".
Isso é um fenômeno típico de (inversas) de funções periódicas. Sim,
sim, a exponencial é periódica, mesmo que a primeira vez que a gente
descobre isso soe um pouco estranho. Aliás, isso "explica" porque o
seno, cosseno, são periódicas também :). Voltando ao nosso problema,
você quer construir a função inversa da exponencial. Mas a função é
periódica, daí não dá. (pense assim, você tem que botar alguma
restrição também quando você constrói arcsin. Ou a raiz quadrada...).
A grande sacada dos analistas (hoje a gente os chamaria de
"topólogos", mas na época era "Analisis situs", como escrevia o
Poincaré) foi ver que esses problemas de periodicidade têm
contrapartidas que dependem unicamente da estrutura do seu "espaço
topológico" (o que eles chamaram de "1-conexidade"), e portanto, a
verdadeira restrição à sua questão não é "f uma função holomorfa em C
- {0}", mas sim "f contínua num domínio que dê uma volta em torno da
origem" (a tradução da parte de "1-conexo" para o problema particular
da exponencial). Talvez (talvez) exista uma demonstração mais rápida
de que seja impossível usando o fato de f ser holomorfa. A
demonstração que eu dei, basta que f seja diferenciável (o que não é
grandes coisas mais geral: sendo diferenciável, derivando a equação
funcional como você fez prova que f é holomorfa) num caminho
diferenciável também.
Final da história (do século XIX): esse problema de "extensão de
funções analíticas" obrigou os analistas a desenvolverem a topologia e
a geometria diferencial, gerando o que se chama hoje em dia de
"Superfícies de Riemann", objetos bem adaptados para você poder
estudar corretamente essas inversas. Assim, você tem uma espiral
infinita (sem o 0) que serve para você estudar o logaritmo, e assim,
quando você dá uma volta, você pode continuar "2pi i pra frente", e o
logaritmo está bem definido em todos os pontos, porque a "altura na
espiral" diz a que "altura" no eixo imaginário você está. Essas
superfícies foram generalizadas para as "variedades diferenciáveis", e
também foram o ponto de partida para Poincaré definir a homologia...
mas eu estou entrando no século XX, e é melhor parar por aqui.
Dicas de leitura finais: eu recomendo bastante conhecer a teoria dos
espaços (e aplicações) de recobrimento, que vai falar sobre homotopia,
e problemas de você construir funções contínuas de um conjunto em
outro. A exponencial é o primeiro exemplo da teoria, e muitas coisas
muito bonitas decorrem de um estudo destas aplicações, uma delas de
análise complexa (para não fugir ao tema) é o teorema de Picard:
Se f é uma função inteira (holomorfa e definida em C, ou seja, uma
série de potências convergente em todos os pontos de C) e que 0 e 1
não estão na imagem de f, então f é constante. A demonstração original
desse teorema (por Picard) usa um monte de coisas bonitas de análise
complexa (a função modular em particular) para provar que o disco
unitário do plano é um recobrimento (holomorfo) de C - {0,1} e que
portanto a sua função f pode ser "fatorada" passando primeiro pelo
disco e depois sendo enviada em C - {0,1}. Mas uma função inteira cuja
imagem está contida no disco unitário é limitada (claro!) e por
Liouville, constante.
> Obrigada
> Amanda
Bons estudos,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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