SUGESTÃO: Re-escreva a sua expressão no formato (a-1/a)^2, depois mostre que
este tal a-1/a é inteiro. Quem quiser o resto, veja abaixo.
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PAPINHO: Será que dá para escrever este troço direto como o quadrado de a+b
ou a-b? Tipo, um a^2+b^2-2ab? Bom, para que isto desse certo, aquele -2 da
sua expressão teria que ser o -2ab, né? Ou seja, teria que ser ab=1 (ou
seja, os outros dois termos têm de ser inversos um do outro). É, eu lembro
que (a-1/a)^2=a^2+(1/a)^2-2 (um truque que eu já vi muitas vezes antes, por
exemplo, resolvendo equações biquadradas)... isto VAI funcionar, pois
(3+raiz(8))^n.(3-raiz(8))^n=1^n=1, eles são inversos um do outro!
Mas para completar o truque, eu precisaria de a^2=(3+raiz(8))^n... Bom, o n
nem importa muito; se eu conseguisse 3+raiz(8)=c^2 tava bom, pois seria
a=c^n. Usando a fórmula de radicais duplos ou um pouco de imaginação, vê-se
que c=raiz(2)+1 serve! Ah, então eu já posso escrever minha solução:
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SOLUÇÃO: Note que
(3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n - 2 = (raiz(2)+1)^(2n) +
(raiz(2)-1)^(2n) -2 =
= ((raiz(2)+1)^n - (raiz(2)-1)^n) ^2 = (A^n-B^n)^2
onde usei A=raiz(2)+1 e B=raiz(2)-1 (e notei que AB=1)
Agora eu só preciso provar que o que está lá dentro, isto é, P(n) = A^n -
B^n, é inteiro (pelo menos para n ímpar)... Isto sai de várias formas:
a) Abrindo esse P(n) com binômio de Newton, vê-se que as potências ímpares
de raiz(2) se cancelam; o resto é tudo inteiro.
OU
b) Para quem já mexeu com equações a diferenças finitas: tudo que é
combinação linear de potências n-ésimas de 2 números satisfaz uma relação
recursiva de ordem 2. Em particular, u(n)=P(2n+1)=A.(A^2)^n+B.(B^2)^n é uma
tal combinação. Como A^2 e B^2 são raízes de t^2-6t+1=0 (faça a conta),
então os u(n) satisfazem: u(n+2)=6u(n+1)-u(n). Se você mostrar que u(0) e
u(1) são inteiros (isto é, que P(1) e P(3) são quadrados perfeitos), por
indução todos os u(n) o serão!
Abraço,
Ralph
2008/2/20 Rafael Cano <[EMAIL PROTECTED]>:
> Olá
> Faça (3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n - 2 = k. k tem que ser inteiro
> para n ímpar.
> Substituindo: t=(3 + raiz(8))^n e multiplicando por t a equação:
> t² - (k+2)t + 1=0. Agora isola o t. Pra qualquer n, t é da forma
> a+b*raiz(2), a e b inteiros...
> A partir disso acho que eu consegui mostrar que k é quadrado perfeito.
> Veja se da certo ai.
> Abraços
>
> ----- Original Message -----
> *From:* Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
> *To:* [email protected]
> *Sent:* Tuesday, February 19, 2008 3:34 PM
> *Subject:* [obm-l] Provar que é quadrado perfeito
>
> Gostaria que alguém desse alguma sugestão para isto:
>
> Mostre que, para todo n ímpar positivo, (3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n
> - 2 eh um quadrado perfeito.
>
> Abracos
> Artur
>
>
