Luiz Matos e Carlos Yuzo Shine, vocês têm razão. Interessante que eu estava
familiarizado com o resultado que envolviam as somas das potências das
raízes S(m) e os coeficientes do polinômio, mas nunca havia entendido como
funcionava o processo.
Muito obrigado.
Jones
2008/2/17 Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]>:
> Sim, isso é um fato verdadeiro.
>
> Vou provar com um pouco de Cálculo; mais precisamente,
> utilizando o fato de que a derivada de ln(f(x)) é
> f'(x)/f(x).
>
> Note então que, se P(x) = a(x-x1)(x-x2)...(x-xn),
> sendo x1, x2, ..., xn as raízes (possivelmente com
> repetições) e a um real, então P'(x)/P(x) é a derivada
> de ln(P(x)), que é igual a ln|x-x1| + ln|x-x2| + ... +
> ln|x-xn| (aqui, não vamos nos preocupar com questões
> de convergência, já que estamos trabalhando com séries
> formais). Mas se calcularmos a derivada a partir dessa
> segunda forma, obtemos
> P'(x)/P(x) = 1/(x-x1) + 1/(x-x2) + ... + 1/(x-xn)
>
> Desenvolvendo 1/(x-r) = (1/x)/(1-r/x) como série de
> potências, obtemos
> 1/(x-r) = (1/x)(1 + (r/x) + (r/x)^2 + ...)
> = x^{-1} + rx^{-2} + r^2x^{-3} + ...
> e, substituindo, o resultado segue.
>
> Quanto a calcular a soma de potências das raízes,
> existe outro algoritmo que funciona. Sendo S(m) a soma
> das m-ésimas potências das raízes de P(x), temos
> a_nxi^n + a_{n-1}xi^{n-1} + ... + a_1xi + a_0 = 0
> para cada raiz xi de P. Então
> a_nxi^{m+n} + a_{n-1}xi^{m+n-1} + ... + a_1xi^{m+1} +
> a_0x^m = 0
>
> Somando sobre todas as raízes, obtemos
> a_nS(m+n) + a_{n-1}S(m+n-1) + ... + a_1S(m+1) +
> a_0S(m) = 0
>
> Tendo n valores iniciais (que podem ser obtidos com as
> relações entre raízes e coeficientes ou a série formal
> acima), obtemos S(m) para todo m inteiro.
>
> []'s
> Shine
>
> --
>
