Sim, isso é um fato verdadeiro.
Vou provar com um pouco de Cálculo; mais precisamente,
utilizando o fato de que a derivada de ln(f(x)) é
f'(x)/f(x).
Note então que, se P(x) = a(x-x1)(x-x2)...(x-xn),
sendo x1, x2, ..., xn as raízes (possivelmente com
repetições) e a um real, então P'(x)/P(x) é a derivada
de ln(P(x)), que é igual a ln|x-x1| + ln|x-x2| + ... +
ln|x-xn| (aqui, não vamos nos preocupar com questões
de convergência, já que estamos trabalhando com séries
formais). Mas se calcularmos a derivada a partir dessa
segunda forma, obtemos
P'(x)/P(x) = 1/(x-x1) + 1/(x-x2) + ... + 1/(x-xn)
Desenvolvendo 1/(x-r) = (1/x)/(1-r/x) como série de
potências, obtemos
1/(x-r) = (1/x)(1 + (r/x) + (r/x)^2 + ...)
= x^{-1} + rx^{-2} + r^2x^{-3} + ...
e, substituindo, o resultado segue.
Quanto a calcular a soma de potências das raízes,
existe outro algoritmo que funciona. Sendo S(m) a soma
das m-ésimas potências das raízes de P(x), temos
a_nxi^n + a_{n-1}xi^{n-1} + ... + a_1xi + a_0 = 0
para cada raiz xi de P. Então
a_nxi^{m+n} + a_{n-1}xi^{m+n-1} + ... + a_1xi^{m+1} +
a_0x^m = 0
Somando sobre todas as raízes, obtemos
a_nS(m+n) + a_{n-1}S(m+n-1) + ... + a_1S(m+1) +
a_0S(m) = 0
Tendo n valores iniciais (que podem ser obtidos com as
relações entre raízes e coeficientes ou a série formal
acima), obtemos S(m) para todo m inteiro.
[]'s
Shine
--- Luis Matos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Ola Jones.
> Acho que esta certo sim.
> Veja que se P(x) = a.x^(n) + b.x^(n-1) + .... + c,
> temos que a derivada P'(x) = a*n*x^(n-1) + .... .dai
> quando dividirmos P'(x) por P(x) teremos como
> primeiro termo no quociente n*x^(-1) e portanto S0 =
> n (ou seja, a ordem do polinomio). Isto e razoavel
> nao e? Veja que temos n raizes e a soma das
> potencias de ordem zero (isto e 1) destas raizes
> sera n. Como no exemplo mostrei um polinomio e de
> grau 2, S0 = 2.
>
> Ou basta montar a divisao (no exemplo as raizes
> sao 2 e 3)
> ===1)
> 2x - 5..................| x^2 - 5x + 6
> -2x + 10 - 12x^(-1).|---------------------
> ----------------------------....2x^(-1)
>
> 5 - 12^x(-1) Dai S0 = 2 =
> 2^(0) + 3^(0)
>
>
> ===2)
> 5 - 12^x(-1)................| x^2 - 5x + 6
> -5 + 25^x(-1) - 30x^(-2).|---------------------
> ----------------------------------....5x^(-2)
>
> 13^x(-1) - 30x^(-2) Dai S1 = 5 = 2^(1)
> + 3^(1)
>
> ===3)
> 13^x(-1) - 30x^(-2) ...............| x^2 - 5x
> + 6
> -13^x(-1) + 65x^(-2) -
> 78x^(-3).|---------------------
>
>
---------------------------------------------....13x^(-3)
>
> 35^x(-2) - 78x^(-3) Dai S2 = 13 = 2^(2)
> + 3^(2)
>
> e assim sucessivamente.
>
> colombo <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Luis, você tem certeza disto? Porque S0=2? Acho
> que não é bem assim não!
> Jones
>
> 2008/2/13 Luis Matos <[EMAIL PROTECTED]>:
> Se dividirmos P'(x) por P(x) teremos como
> polinomio quociente algo da forma Q(x) = S0*x^(-1) +
> S1*x(-2) + S2*x(-3) + .....
> Temos que:
> Sq = soma das potencias de ordem q das raizes de
> P(x).
> Acho que isso e devido a Newton!?
>
> Exemplo:
> P(x) = x^2 - 5x + 6
> P´(x) = 2x - 5.
>
> => P´(x) = P(x)*( 2x^(-1) +5x^(-2) +13x^(-3)
> +35x^(-4) + .... )
> S0 = 2, S1 = 5, S2 = 13, S3 = 35, ....
>
> Luis Matos.
>
> Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
>
> Se q é um inteiro positivo, existe alguma
> forma relativamente fácil de se determinar a soma
> das potências q das raízes de um polinômio? Algo,
> por exemplo, baseado nas reações de Girard?
>
> Obrigado
> Artur
>
>
>
>
>
> ---------------------------------
> Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite
> de espaço para armazenamento!
>
>
>
>
>
> ---------------------------------
> Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de
> espaço para armazenamento!
____________________________________________________________________________________
Never miss a thing. Make Yahoo your home page.
http://www.yahoo.com/r/hs
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
