Vamos fazer a terceira. Mostrar que um espaço é soma direta de dois outros
equivale a mostrar que ele é soma dos dois outros e que a interseção destes
dois outros é o subespaço nulo.
Temos: U + V = {u + v; u em U, v em V} = { (x,y,0) + (0,0,z) } = { (x,y,z) }
= R^3. Assim, R^3 é soma de U e V.
Agora tome um elemento (x, y, z) na interseção de U e V. Como ele está em U,
temos que z = 0, e como ele está em V temos que x = y = 0. Assim qualquer
elemento da interseção tem x = y = z = 0, logo a interseção só contem o 0 do
R^3.
Assim provamos que R^3 é soma direta.
Geometricamente, U é o plano (x,y) e V é o eixo z.
Decompondo um vetor (x, y, z) de R^3 como soma de vetores em U e V temos:
(x, y, z) = (0, 0, z) + (x, y, 0), onde a primeira parcela está em U e a
segunda em V.
Para a segunda questão, podemos lembrar que tal espaço de polinômios tem
dimensao 3 e assim só nos resta mostrar que o conjunto que vc deu é l.i. Mas
atenção: dado um conjunto com um número finito de elementos, mostrar que
cada 2 elementos são l.i. não implica que o conjunto todo seja l.i.!!! Tente
mostrar a independencia linear desse conjunto.
Abraço
Bruno
2007/7/30, rcggomes <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>
>
> Ola pessoal,
>
> Alguem pode me ajudar nessas questoes:
>
>
> => Determine se os conjuntos abaixo sao subespacos vetoriais:
>
> - *W*1 = *{ *(*x; y*) E* *IR^2 : *x >= y >= *0}**
>
> -
> *W*2 = *{ *(*x; y; z*) E* *IR^3 : 2*x *+ *y - z *= 0}**
>
> =>Verifique que o conjunto {1*; *(1 -* x*)*; *(1 *- **x*)^2}* *forma uma
> base para o espaco vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.
>
> => Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais *U *= {(*x; y;
> z*) E* *IR^3 : *z *= 0}* *e {(*x; y; z*) E* *IR^3 : *x *= *y *= 0}, com
> ilustração geometrica os subespacos *U *e *V *, e mostre a decomposicao de
> um vetor qualquer no IR^3 como soma dos seus respectivos vetores de *U *e
> *V *.
>
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0
