on 03.06.04 21:40, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x. > > Primeira solu��o: > > Eu considero essa solu��o, enviada aqui para a lista pelo nosso colega > Ralph, a mais bonita e natural de todas. > > Abra tudo: > > sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x => > 5 - sqrt(5 - x) = x^2 => > sqrt(5 - x) = 5 - x^2 => > 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 => > x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0. > > Se essa equa��o puder ser resolvida sem apelar para a f�rmula da equa��o > do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse > algumas ra�zes, a gente at� poderia fatorar o polin�mio... > > Mas a gente sabe algumas dessas ra�zes! N�o � dif�cil ver que sqrt(5 - x) > = x => x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo � razo�vel esperar que x^2 + x - 5 > divida o polin�mio em que chegamos. E, de fato, > > x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui � trivial. > Tai uma coisa (dentre varias) que eu aprendi aqui na lista: Esse metodo eh geral e aplicavel a qualquer equacao da forma F(F(x)) = x.
Uma condicao suficiente para que x = a seja uma raiz de F(F(x)) = x eh que F(a) = a, pois nesse caso, F(F(a)) = F(a) = a. Presume-se que F(x) = x seja uma equacao mais facil de se resolver. No caso presente, F(x) = raiz(5 - x) e o metodo funciona muito bem. Por outro lado, a condicao F(a) = a nao eh necessaria para que a seja uma raiz de F(F(x)) = x. Por exemplo, tome F(x) = 1 - x^2. Entao, F(F(x)) = x ==> 1 - (1 - x^2)^2 = x ==> x^4 - 2x^2 + x = 0 ==> raizes: 0, 1, (-1-raiz(5))/2, (-1+raiz(5))/2 Claramente, 0 e 1 nao sao raizes de F(x) = x <==> x^2 + x - 1 = 0. Outro exemplo, mais simples e mais extremo: F(x) = -x. Qualquer numero real ou complexo satisfaz a F(F(x)) = x. Por outro lado, a unica raiz de F(x) = x eh x = 0 (a menos que estejamos trabalhando em Z_2, mas dai jah eh apelar um pouco). []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
