biper said: > Hoje recebi esta quest�o do meu colega, no i�cio pensei > que fosse f�cil, mas acabei me complicando, a� vai: > > Calcule o valor de x para: > > [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x > > > Eu desnenvolvendo caiu num sistema, ser� que � por a� > mesmo? > [...]
Bom, eu n�o sei de qual sistema voc� est� falando, mas existem v�rias solu��es para este problema (eu suponho que voc� quis diser sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x). Primeira solu��o: Eu considero essa solu��o, enviada aqui para a lista pelo nosso colega Ralph, a mais bonita e natural de todas. Abra tudo: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x => 5 - sqrt(5 - x) = x^2 => sqrt(5 - x) = 5 - x^2 => 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 => x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0. Se essa equa��o puder ser resolvida sem apelar para a f�rmula da equa��o do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse algumas ra�zes, a gente at� poderia fatorar o polin�mio... Mas a gente sabe algumas dessas ra�zes! N�o � dif�cil ver que sqrt(5 - x) = x => x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo � razo�vel esperar que x^2 + x - 5 divida o polin�mio em que chegamos. E, de fato, x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui � trivial. Segunda solu��o: Se voc� n�o vir esse fator, tamb�m � poss�vel resolver o problema. � f�cil ver que o polin�mio n�o tem ra�zes raacionais. Se ele puder ser fatorado, ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polin�mios de segundo grau, i.e. x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d). Abrindo o lado direito, x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que (1) a + c = 0 (2) b + d + ac = -10 (3) ad + bc = 1 (4) bd = 20 De (1), segue que c = -a, logo, substituindo em (3), a(d - b) = 1, logo a = d - b = -1 ou a = d - b = 1. Aqui, poder�amos quebrar em casos, mas note que os dois casos s�o extamente os mesmos -- se trocarmos os dois fatores do polin�mio acima, passaremos de um caso para o outro. Logo, sem perda de generalidade, a = d - b = 1. Como b + d - a^2 = -10, b + d = -9. Junto com d - b = 1, isso implica que d = -4 e b = -5, o que � consistente com (4). Logo x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Terceira solu��o: Novamente, abra tudo, mas fa�a, inicialmente, a substitui��o 5 = a. Nossa equa��o torna-se x = sqrt(a - sqrt(a - x)) (o porqu� dessa substitui��o ficar� claro daqui a pouco). Abra tudo: x^2 = a - sqrt(a - x) => a - x = a^2 - 2*a*x^2 + x^4 => x^4 - 2*a*x^2 + x + a^2 - a = 0 => (rearrumando os termos) a^2 - (1 + 2x^2)*a + (x^4 + x) = 0. Isso � uma equa��o de segundo grau em a. Seu discriminante � 1 + 4x^2 + 4x^4 - 4x^4 - 4x = 1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2, logo a = [1 + 2x^2 + 1 - 2x]/2 = x^2 - x + 1 ou a = [1 + 2x^2 - 1 + 2x]/2 = x^2 + x. Substituindo de volta a = 5, x^2 - x - 4 = 0 ou x^2 + x - 5 = 0. Quarta solu��o: Seja y = sqrt(5 - x). Ent�o sqrt(5 - y) = x, logo x^2 = 5 - y e y^2 = 5 - x. Subtraindo as duas equa��es, x^2 - y^2 = x - y <=> (x - y)(x + y - 1) = 0. Logo y = x ou y = 1 - x, o que implica sqrt(5 - x) = x => x^2 + x - 5 = 0 ou sqrt(5 - x) = 1 - x => x^2 - x - 4 = 0. []s, -- F�bio "ctg \pi" Dias Moreira ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
