Ol� Claudio,
Originalmente, eu resolvi esta quest�o usando a mesma id�ia
apresentada como quarta solu��o pelo Fabio, por�m eu analisei as condi��es
que devem ser satisfeitas em cada passo para possibilitar as transforma��es
no campo dos reais. Deste modo, eu consigo analisar a validade das solu��es
encontradas. � importante ressaltar que na resolu��o de uma equa��o
irracional no campo dos reais, a an�lise da condi��o de exist�ncia � t�o
importante quanto o fato de encontrar uma equa��o polinomial "equivalente".
Pois, esta equival�ncia quase sempre � parcial, ou seja, geralmente apenas
algumas ra�zes s�o compartilhadas.
PROBLEMA:
Resolva no campo dos reais s seguinte equa��o: sqr(5 - sqr(5 - x)) = x.
RESOLU��O POSS�VEL PARA O PROBLEMA:
Fazendo y = sqr(5 - x) (i), teremos:
x = sqr(5 - y) (ii)
Seguem as condi��es que permitem a equival�ncia das igualdades (i) e (ii)
mesmo ap�s elevar ambos os membros ao quadrado.
Igualdade (i): y >= 0 e 5 - x >= 0 <=> x <= 5 (iii)
Igualdade (ii): x >= 0 e 5 - y >= 0 <=> y <= 5 (iv)
Das condi��es (iii) e (iv), chegamos a uma condi��o geral:
0 <= x <= 5 e 0 <= y <= 5 (v).
Se for satisfeita a condi��o geral (v), poderemos elevar ambos os membros
das igualdades (i) e (ii), ou seja:
y^2 = 5 - x <=> y^2 + x = 5 (vi)
x^2 = 5 - y <=> x^2 + y = 5 (vii)
Aplicando a propriedade transitiva da igualdade em (vi) e (vii), teremos:
y^2 + x = x^2 + y <=> y^2 - x^2 - y + x = 0 <=> (y - x)(y + x) - (y - x) = 0
<=> (y - x)(y - x - 1) = 0 <=> y = x (viii) ou y = 1 - x (ix)
Substituindo a (viii) na (vii), teremos:
x^2 = 5 - x <=> x^2 + x - 5 = 0 <=> x = [-1 +/- sqr(21)]/2
Verificando se as solu��es satisfazem a condi��o geral (v):
x = [-1 - sqr(21)]/2 (N�o satisfaz, pois x < 0)
x = [-1 + sqr(21)]/2 (Satisfaz, pois 0 <= x <= 5. Observe que 0 <= y <= 5
uma vez que pela igualdade (viii) y = x.)
Substituindo a (ix) na (vii), teremos:
x^2 = 5 - (1 - x) <=> x^2 - x - 4 = 0 <=> x = [1 +/- sqr(17)]/2
Verificando se as solu��es satisfazem a condi��o geral (v):
x = [1 - sqr(17)]/2 (N�o satisfaz, pois x < 0)
x = [1 + sqr(17)]/2 (N�o satisfaz, pois apesar de satisfazer a primeira
parte da condi��o geral 0 <= x <= 5 n�o satisfaz a segunda, pois pela
igualdade (ix) y = 1 - x => y = 1 - [1 + sqr(17)]/2 => y = [1 - sqr(17)]/2,
ou seja, y < 0.)
Resposta:
x = [-1 + sqr(21)]/2
Conjunto solu��o no campo dos reais: S = {[-1 + sqr(21)]/2}
Atenciosamente,
Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Claudio Buffara
Sent: quinta-feira, 3 de junho de 2004 22:34
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] o valor de x - continuacao
Em todas as solucoes que o Fabio apresentou, aparecem as equacoes:
x^2 + x - 5 = 0
e
x^2 - x - 4 = 0
As raizes da primeira sao: (-1+raiz(21))/2 e (-1-raiz(21))/2
As da segunda sao: (1+raiz(17))/2 e (1-raiz(17))/2
Examinando a equacao original: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x,
observamos que x e 5 - x precisam ser nao-negativos.
Ou seja, temos que ter 0 <= x <= 5.
Isso elimina as raizes (-1-raiz(21))/2 e (1-raiz(17))/2.
No entanto, verificamos que apenas (-1+raiz(21))/2 satisfaz a equacao
original.
O problema que eu proponho eh:
Explique porque (1+raiz(17))/2 nao satisfaz a equacao original.
[]s,
Claudio.
on 03.06.04 21:40, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote:
>
> biper said:
>> Hoje recebi esta quest�o do meu colega, no i�cio pensei
>> que fosse f�cil, mas acabei me complicando, a� vai:
>>
>> Calcule o valor de x para:
>>
>> [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x
>>
>>
>> Eu desnenvolvendo caiu num sistema, ser� que � por a�
>> mesmo?
>> [...]
>
> Bom, eu n�o sei de qual sistema voc� est� falando, mas existem v�rias
> solu��es para este problema (eu suponho que voc� quis diser sqrt(5 -
> sqrt(5 - x)) = x).
>
> Primeira solu��o:
>
> Eu considero essa solu��o, enviada aqui para a lista pelo nosso colega
> Ralph, a mais bonita e natural de todas.
>
> Abra tudo:
>
> sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x =>
> 5 - sqrt(5 - x) = x^2 =>
> sqrt(5 - x) = 5 - x^2 =>
> 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 =>
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0.
>
> Se essa equa��o puder ser resolvida sem apelar para a f�rmula da equa��o
> do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse
> algumas ra�zes, a gente at� poderia fatorar o polin�mio...
>
> Mas a gente sabe algumas dessas ra�zes! N�o � dif�cil ver que sqrt(5 - x)
> = x => x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo � razo�vel esperar que x^2 + x - 5
> divida o polin�mio em que chegamos. E, de fato,
>
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui �
trivial.
>
> Segunda solu��o:
>
> Se voc� n�o vir esse fator, tamb�m � poss�vel resolver o problema. � f�cil
> ver que o polin�mio n�o tem ra�zes raacionais. Se ele puder ser fatorado,
> ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polin�mios de segundo
> grau, i.e.
>
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).
>
> Abrindo o lado direito,
>
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd
>
> Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que
>
> (1) a + c = 0
> (2) b + d + ac = -10
> (3) ad + bc = 1
> (4) bd = 20
>
> De (1), segue que c = -a, logo, substituindo em (3), a(d - b) = 1, logo a
> = d - b = -1 ou a = d - b = 1. Aqui, poder�amos quebrar em casos, mas note
> que os dois casos s�o extamente os mesmos -- se trocarmos os dois fatores
> do polin�mio acima, passaremos de um caso para o outro. Logo, sem perda de
> generalidade, a = d - b = 1.
>
> Como b + d - a^2 = -10, b + d = -9. Junto com d - b = 1, isso implica que
> d = -4 e b = -5, o que � consistente com (4). Logo
>
> x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4).
>
> Terceira solu��o:
>
> Novamente, abra tudo, mas fa�a, inicialmente, a substitui��o 5 = a. Nossa
> equa��o torna-se x = sqrt(a - sqrt(a - x)) (o porqu� dessa substitui��o
> ficar� claro daqui a pouco). Abra tudo:
>
> x^2 = a - sqrt(a - x) =>
> a - x = a^2 - 2*a*x^2 + x^4 =>
> x^4 - 2*a*x^2 + x + a^2 - a = 0 => (rearrumando os termos)
> a^2 - (1 + 2x^2)*a + (x^4 + x) = 0.
>
> Isso � uma equa��o de segundo grau em a. Seu discriminante � 1 + 4x^2 +
> 4x^4 - 4x^4 - 4x = 1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2, logo a = [1 + 2x^2 + 1 -
> 2x]/2 = x^2 - x + 1 ou a = [1 + 2x^2 - 1 + 2x]/2 = x^2 + x.
>
> Substituindo de volta a = 5, x^2 - x - 4 = 0 ou x^2 + x - 5 = 0.
>
> Quarta solu��o:
>
> Seja y = sqrt(5 - x). Ent�o sqrt(5 - y) = x, logo x^2 = 5 - y e y^2 = 5 -
x.
>
> Subtraindo as duas equa��es, x^2 - y^2 = x - y <=> (x - y)(x + y - 1) = 0.
> Logo y = x ou y = 1 - x, o que implica sqrt(5 - x) = x => x^2 + x - 5 = 0
> ou sqrt(5 - x) = 1 - x => x^2 - x - 4 = 0.
>
> []s,
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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