Em todas as solucoes que o Fabio apresentou, aparecem as equacoes: x^2 + x - 5 = 0 e x^2 - x - 4 = 0
As raizes da primeira sao: (-1+raiz(21))/2 e (-1-raiz(21))/2 As da segunda sao: (1+raiz(17))/2 e (1-raiz(17))/2 Examinando a equacao original: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x, observamos que x e 5 - x precisam ser nao-negativos. Ou seja, temos que ter 0 <= x <= 5. Isso elimina as raizes (-1-raiz(21))/2 e (1-raiz(17))/2. No entanto, verificamos que apenas (-1+raiz(21))/2 satisfaz a equacao original. O problema que eu proponho eh: Explique porque (1+raiz(17))/2 nao satisfaz a equacao original. []s, Claudio. on 03.06.04 21:40, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > biper said: >> Hoje recebi esta quest�o do meu colega, no i�cio pensei >> que fosse f�cil, mas acabei me complicando, a� vai: >> >> Calcule o valor de x para: >> >> [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x >> >> >> Eu desnenvolvendo caiu num sistema, ser� que � por a� >> mesmo? >> [...] > > Bom, eu n�o sei de qual sistema voc� est� falando, mas existem v�rias > solu��es para este problema (eu suponho que voc� quis diser sqrt(5 - > sqrt(5 - x)) = x). > > Primeira solu��o: > > Eu considero essa solu��o, enviada aqui para a lista pelo nosso colega > Ralph, a mais bonita e natural de todas. > > Abra tudo: > > sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x => > 5 - sqrt(5 - x) = x^2 => > sqrt(5 - x) = 5 - x^2 => > 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 => > x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0. > > Se essa equa��o puder ser resolvida sem apelar para a f�rmula da equa��o > do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse > algumas ra�zes, a gente at� poderia fatorar o polin�mio... > > Mas a gente sabe algumas dessas ra�zes! N�o � dif�cil ver que sqrt(5 - x) > = x => x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo � razo�vel esperar que x^2 + x - 5 > divida o polin�mio em que chegamos. E, de fato, > > x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui � trivial. > > Segunda solu��o: > > Se voc� n�o vir esse fator, tamb�m � poss�vel resolver o problema. � f�cil > ver que o polin�mio n�o tem ra�zes raacionais. Se ele puder ser fatorado, > ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polin�mios de segundo > grau, i.e. > > x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d). > > Abrindo o lado direito, > > x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd > > Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que > > (1) a + c = 0 > (2) b + d + ac = -10 > (3) ad + bc = 1 > (4) bd = 20 > > De (1), segue que c = -a, logo, substituindo em (3), a(d - b) = 1, logo a > = d - b = -1 ou a = d - b = 1. Aqui, poder�amos quebrar em casos, mas note > que os dois casos s�o extamente os mesmos -- se trocarmos os dois fatores > do polin�mio acima, passaremos de um caso para o outro. Logo, sem perda de > generalidade, a = d - b = 1. > > Como b + d - a^2 = -10, b + d = -9. Junto com d - b = 1, isso implica que > d = -4 e b = -5, o que � consistente com (4). Logo > > x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). > > Terceira solu��o: > > Novamente, abra tudo, mas fa�a, inicialmente, a substitui��o 5 = a. Nossa > equa��o torna-se x = sqrt(a - sqrt(a - x)) (o porqu� dessa substitui��o > ficar� claro daqui a pouco). Abra tudo: > > x^2 = a - sqrt(a - x) => > a - x = a^2 - 2*a*x^2 + x^4 => > x^4 - 2*a*x^2 + x + a^2 - a = 0 => (rearrumando os termos) > a^2 - (1 + 2x^2)*a + (x^4 + x) = 0. > > Isso � uma equa��o de segundo grau em a. Seu discriminante � 1 + 4x^2 + > 4x^4 - 4x^4 - 4x = 1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2, logo a = [1 + 2x^2 + 1 - > 2x]/2 = x^2 - x + 1 ou a = [1 + 2x^2 - 1 + 2x]/2 = x^2 + x. > > Substituindo de volta a = 5, x^2 - x - 4 = 0 ou x^2 + x - 5 = 0. > > Quarta solu��o: > > Seja y = sqrt(5 - x). Ent�o sqrt(5 - y) = x, logo x^2 = 5 - y e y^2 = 5 - x. > > Subtraindo as duas equa��es, x^2 - y^2 = x - y <=> (x - y)(x + y - 1) = 0. > Logo y = x ou y = 1 - x, o que implica sqrt(5 - x) = x => x^2 + x - 5 = 0 > ou sqrt(5 - x) = 1 - x => x^2 - x - 4 = 0. > > []s, ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
