Okay Rog�rio vou analis� la,... valew!
> Osvaldo, > > Para chegar a esta conclus�o, voc� vai ter que levar em conta o > seguinte dado do enunciado do problema: "... os pontos de interse��o > de seus lados sejam os v�rtices de um oct�gono regular.". Sendo assim, voc� > pode levar em considera��o que todos os �ngulos internos do oct�gono regular > s�o iguais a 135�. Usando esta informa��o, voc� pode comprovar as suas > conclus�es de v�rias maneiras. Observe que voc� n�o tinha usado esta > informa��o, portanto voc� estava resolvendo um problema mais gen�rico como > se fosse um caso particular. > > Obs.: Se estiver com tempo, d� uma analisada na resolu��o que eu propus. A > resolu��o parece extensa, mas isto ocorreu devido a eu ter explicado > detalhadamente todos os passos e c�lculos. Ao analisar os passos da > resolu��o, voc� poder� concluir que a resolu��o � bem simples. > > Abra�os, > > Rog�rio Moraes de Carvalho > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of Osvaldo > Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 21:50 > To: obm-l > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana > > E ai Rog�rio! > > Poxa, acho que vc esta certo. Ser� que tem alguma > maneira direta de se fazer isto? se tiver favor me > mandar. valew! > > > > > > > Ol� Osvaldo, > > > > Observe que voc� est� tirando conclus�es > baseadas somente no > > desenho. O enunciado n�o fornece nenhuma informa��o > que permita que voc� > > conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC > s�o paralelos. Ao afirmar > > que os segmentos XJ e OC s�o paralelos, voc� est� > afirmando de maneira > > indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a partir > do quadrado ABCD por > > uma rota��o de 45� em torno do seu centro. > > > > Abra�os, > > > > Rog�rio Moraes de Carvalho > > -----Original Message----- > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- > [EMAIL PROTECTED] On > > Behalf Of Osvaldo > > Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 16:55 > > To: obm-l > > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana > > > > Okay, concordo! > > Por�m, n�o mencionei na minha solu��o por ME PARECER > > meio direto, desculpe. > > Tipo, olhando para os �ngulos XJB e OCB, conclu�mos > que > > eles t�m mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC > � > > comum e os segmentos XJ e OC s�o //), ou seja 45� , > dai > > completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja, > > BIX vale 45 tambem. > > > > Falow, at�. > > > > > Ol� Osvaldo, > > > > > > N�o h� dados suficientes no enunciado do > > problema que permitam que > > > voc� conclua de forma DIRETA que os tri�ngulos ABC > e > > IBJ s�o semelhantes. � > > > f�cil e direto concluir que os �ngulos do tri�ngulo > > ABC s�o os seguintes: > > > <ABC = 90�, <BCA = 45� e <CAB = 45�, uma vez que se > > trata de um tri�ngulo > > > ret�ngulo is�sceles (AB = BC = L e <ABC = 90�). > > Por�m, apesar de podermos > > > concluir diretamente que no tri�ngulo IBJ o �ngulo > > <IBJ = 90�, n�o se pode > > > concluir diretamente que <BJI = 45� ou <JIB = 45�. > > Sendo assim, n�o � > > > correto fazer a semelhan�a entre os tri�ngulos ABC > e > > IBJ pelo crit�rio AA~, > > > a n�o ser que se prove antes que um dos �ngulos > > agudos do tri�ngulo IBJ � > > > igual a 45�. Uma poss�vel demonstra��o est� > colocada > > na solu��o que eu > > > propus. > > > > > > Atenciosamente, > > > > > > Rog�rio Moraes de Carvalho > > > -----Original Message----- > > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner- obm- > > [EMAIL PROTECTED] On > > > Behalf Of Osvaldo > > > Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 13:58 > > > To: obm-l > > > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana > > > > > > E ai Th�r! > > > > > > > > > Creio que uma outra res. poss�vel seja algo como > esta: > > > > > > Dois quadrados com mesmo per�metro s�o certamente > > > congruentes. > > > Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados t�m > > > per�metro P, assim P=l/4 > > > > > > Fa�a o desenho. Sejam A,B,C,D os v�rtices do > primeiro > > > quadrado e sejam E,F,G,H os v�rtices do outro > > quadrado > > > de tal forma que B est� mais proxima de EF. Sejam I > e > > J > > > as intersec��es de EF com os lados AB e BC, > > > respectivamente; O o centro dos quadrados e X a > > > intersec��o de OB com o lado EF. > > > > > > Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ s�o > > > semelhantes caso ~AA. Da propor��o AC/OB=IJ/XB > > > temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ � o lado do oct�gono > > > regular. > > > > > > Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao > > lado > > > do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, > > l.sqrt > > > (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2 > > > Observe que o triang. ret. XBJ � isosceles, logo o > > lado > > > do oct�gono corresponde a duas vezes y ou seja l. > (sqrt > > > (2)-1)= > > > (P/4).(sqrt(2)-1) > > > > > > Falow ai > > > > > > > > > > > > > > > > Ol� Thor, > > > > > > > > Segue uma resolu��o poss�vel para esta quest�o. > > > > > > > > > > > > RESOLU��O POSS�VEL: > > > > > > > > Se os dois quadrados conc�ntricos t�m os mesmos > > > per�metros (P), ent�o eles > > > > s�o congruentes, pois ter�o os mesmos lados (L = > > > P/4). Como o esbo�o da > > > > figura � muito importante para facilitar a > > > compreens�o da resolu��o, segue a > > > > descri��o do mesmo. > > > > > > > > Seja ABCD um quadrado de per�metro P, lado L (L = > > > P/4) e centro O. Agora > > > > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da > > rota��o > > > de um �ngulo BETA de > > > > ABCD em torno da sua origem O no sentido hor�rio, > > tal > > > que 0 < BETA < 90�. > > > > Nomeie os pontos de interse��o dos dois quadrados > > > como H[1], H[2], H[3], > > > > ..., H[8] no sentido hor�rio partindo do ponto de > > > interse��o mais pr�ximo de > > > > A no segmento AB. > > > > > > > > Segue a demonstra��o de que o �ngulo BETA (<AOA') > > de > > > rota��o do quadrado > > > > ABCD deve ser igual a 45�. > > > > Para isto, considere P o ponto de interse��o do > > > segmento AO com o lado D'A' > > > > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interse��o do > > > segmento A'O com o lado AB > > > > do quadrado ABCD. No quadril�tero PH[1]QO o > �ngulo > > <PH > > > [1]Q corresponde a um > > > > dos �ngulos internos de um oct�gono regular (dado > > do > > > enunciado), ent�o: > > > > <PH[1]Q = (8 - 2).180�/8 = 135� > > > > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180� => <PH[1]A + 135� = 180� > > => > > > <PH[1]A = 45� > > > > <PAH[1] = 45� (�ngulo agudo formado entre uma > > > diagonal e um lado do quadrado > > > > ABCD) > > > > Pelo Teorema do �ngulo Interno: <OPH[1] = <PAH [1] > + > > > <PH[1]A => <OPH[1] = 90� > > > > Analogamente, conclu�mos que <H[1]QO = 90� > > > > A soma dos �ngulos internos do quadril�tero OPH [1] > Q > > � > > > igual a 360�, > > > > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = > 360� > > > => 90� + 135� + 90� + > > > > BETA = 360� => BETA = 45� > > > > > > > > Observe que: AO = AP + PO (i) > > > > > > > > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto > > AO > > > = L.sqr(2)/2 (ii) > > > > > > > > AP: metade do lado do oct�gono regular (X/2), > pois > > na > > > dedu��o do �ngulo de > > > > rota��o (BETA) n�s conclu�mos que o tri�ngulo APH > > [1] > > > � ret�ngulo is�sceles. > > > > Analogamente, podemos concluir que APH[8] � > > ret�ngulo > > > is�sceles. Como o lado > > > > AP � comum, podemos dizer que os tri�ngulo APH [1] > e > > > APH[8] s�o congruentes > > > > pelo crit�rio ALA. Considerando X como a medida > do > > > lado do oct�gono regular > > > > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH > > [1] > > > = PH[8] = X/2 (iii) > > > > > > > > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto > > PO > > > = L/2 (iv) > > > > > > > > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na > > > igualdade (i), teremos: > > > > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L > > > > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4 > > > > > > > > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4 > > > > > > > > Atenciosamente, > > > > > > > > Rog�rio Moraes de Carvalho > > > > ______________________________________ > > > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner- > obm- > > > [EMAIL PROTECTED] On > > > > Behalf Of Thor > > > > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25 > > > > To: [EMAIL PROTECTED] > > > > Subject: [obm-l] Geom. Plana > > > > > > > > � > > > > � > > > > Dois quadrados conc�ntricos de per�metro P , > cada , > > > s�o interceptados de > > > > modo que os pontos de interse��o > > > > de seus lados sejam os v�rtices de um oct�gono > > > regular.Qual � o lado desse > > > > oct�gono em fun�ao de P? > > > > � > > > > � > > > > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e > > dai > > > parei!!!! > > > > � > > > > ��� Agrade�o desde de j�. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ======================================================= = > > > ================= > > > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > > usar > > > a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- > l.html > > > > > > > > > > ======================================================= = > > > ================= > > > > > > > > > > Atenciosamente, > > > > > > Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira > > > Osvaldo Mello Sponquiado > > > Usu�rio de GNU/Linux > > > > > > > > > > > > > > > _______________________________________________________ _ > > __________________ > > > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > > > AntiPop-up UOL - � gr�tis! > > > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > > > > > > > > > > > > ======================================================= = > > ================= > > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar > > a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html > > > > > > ======================================================= = > > ================= > > > > > > > > > > > > > > > ======================================================= = > > ================= > > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar > > a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html > > > > > > ======================================================= = > > ================= > > > > > > > Atenciosamente, > > > > Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira > > Osvaldo Mello Sponquiado > > Usu�rio de GNU/Linux > > > > > > > > > _______________________________________________________ _ > __________________ > > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > > AntiPop-up UOL - � gr�tis! > > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > > > > > > ======================================================= = > ================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar > a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ======================================================= = > ================= > > > > > > > > > ======================================================= = > ================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar > a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ======================================================= = > ================= > > > > Atenciosamente, > > Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira > Osvaldo Mello Sponquiado > Usu�rio de GNU/Linux > > > > _______________________________________________________ ___________________ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - � gr�tis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > ======================================================= ================== > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================= ================== > > > > ======================================================= ================== > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================= ================== > Atenciosamente, Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usu�rio de GNU/Linux __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. 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