Ol� Osvaldo,
Observe que voc� est� tirando conclus�es baseadas somente no
desenho. O enunciado n�o fornece nenhuma informa��o que permita que voc�
conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC s�o paralelos. Ao afirmar
que os segmentos XJ e OC s�o paralelos, voc� est� afirmando de maneira
indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a partir do quadrado ABCD por
uma rota��o de 45� em torno do seu centro.
Abra�os,
Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 16:55
To: obm-l
Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
Okay, concordo!
Por�m, n�o mencionei na minha solu��o por ME PARECER
meio direto, desculpe.
Tipo, olhando para os �ngulos XJB e OCB, conclu�mos que
eles t�m mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC �
comum e os segmentos XJ e OC s�o //), ou seja 45� , dai
completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja,
BIX vale 45 tambem.
Falow, at�.
> Ol� Osvaldo,
>
> N�o h� dados suficientes no enunciado do
problema que permitam que
> voc� conclua de forma DIRETA que os tri�ngulos ABC e
IBJ s�o semelhantes. �
> f�cil e direto concluir que os �ngulos do tri�ngulo
ABC s�o os seguintes:
> <ABC = 90�, <BCA = 45� e <CAB = 45�, uma vez que se
trata de um tri�ngulo
> ret�ngulo is�sceles (AB = BC = L e <ABC = 90�).
Por�m, apesar de podermos
> concluir diretamente que no tri�ngulo IBJ o �ngulo
<IBJ = 90�, n�o se pode
> concluir diretamente que <BJI = 45� ou <JIB = 45�.
Sendo assim, n�o �
> correto fazer a semelhan�a entre os tri�ngulos ABC e
IBJ pelo crit�rio AA~,
> a n�o ser que se prove antes que um dos �ngulos
agudos do tri�ngulo IBJ �
> igual a 45�. Uma poss�vel demonstra��o est� colocada
na solu��o que eu
> propus.
>
> Atenciosamente,
>
> Rog�rio Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
[EMAIL PROTECTED] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 13:58
> To: obm-l
> Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
>
> E ai Th�r!
>
>
> Creio que uma outra res. poss�vel seja algo como esta:
>
> Dois quadrados com mesmo per�metro s�o certamente
> congruentes.
> Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados t�m
> per�metro P, assim P=l/4
>
> Fa�a o desenho. Sejam A,B,C,D os v�rtices do primeiro
> quadrado e sejam E,F,G,H os v�rtices do outro
quadrado
> de tal forma que B est� mais proxima de EF. Sejam I e
J
> as intersec��es de EF com os lados AB e BC,
> respectivamente; O o centro dos quadrados e X a
> intersec��o de OB com o lado EF.
>
> Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ s�o
> semelhantes caso ~AA. Da propor��o AC/OB=IJ/XB
> temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ � o lado do oct�gono
> regular.
>
> Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao
lado
> do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja,
l.sqrt
> (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
> Observe que o triang. ret. XBJ � isosceles, logo o
lado
> do oct�gono corresponde a duas vezes y ou seja l.(sqrt
> (2)-1)=
> (P/4).(sqrt(2)-1)
>
> Falow ai
>
>
>
>
> > Ol� Thor,
> >
> > Segue uma resolu��o poss�vel para esta quest�o.
> >
> >
> > RESOLU��O POSS�VEL:
> >
> > Se os dois quadrados conc�ntricos t�m os mesmos
> per�metros (P), ent�o eles
> > s�o congruentes, pois ter�o os mesmos lados (L =
> P/4). Como o esbo�o da
> > figura � muito importante para facilitar a
> compreens�o da resolu��o, segue a
> > descri��o do mesmo.
> >
> > Seja ABCD um quadrado de per�metro P, lado L (L =
> P/4) e centro O. Agora
> > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da
rota��o
> de um �ngulo BETA de
> > ABCD em torno da sua origem O no sentido hor�rio,
tal
> que 0 < BETA < 90�.
> > Nomeie os pontos de interse��o dos dois quadrados
> como H[1], H[2], H[3],
> > ..., H[8] no sentido hor�rio partindo do ponto de
> interse��o mais pr�ximo de
> > A no segmento AB.
> >
> > Segue a demonstra��o de que o �ngulo BETA (<AOA')
de
> rota��o do quadrado
> > ABCD deve ser igual a 45�.
> > Para isto, considere P o ponto de interse��o do
> segmento AO com o lado D'A'
> > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interse��o do
> segmento A'O com o lado AB
> > do quadrado ABCD. No quadril�tero PH[1]QO o �ngulo
<PH
> [1]Q corresponde a um
> > dos �ngulos internos de um oct�gono regular (dado
do
> enunciado), ent�o:
> > <PH[1]Q = (8 - 2).180�/8 = 135�
> > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180� => <PH[1]A + 135� = 180�
=>
> <PH[1]A = 45�
> > <PAH[1] = 45� (�ngulo agudo formado entre uma
> diagonal e um lado do quadrado
> > ABCD)
> > Pelo Teorema do �ngulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] +
> <PH[1]A => <OPH[1] = 90�
> > Analogamente, conclu�mos que <H[1]QO = 90�
> > A soma dos �ngulos internos do quadril�tero OPH[1]Q
�
> igual a 360�,
> > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360�
> => 90� + 135� + 90� +
> > BETA = 360� => BETA = 45�
> >
> > Observe que: AO = AP + PO (i)
> >
> > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto
AO
> = L.sqr(2)/2 (ii)
> >
> > AP: metade do lado do oct�gono regular (X/2), pois
na
> dedu��o do �ngulo de
> > rota��o (BETA) n�s conclu�mos que o tri�ngulo APH
[1]
> � ret�ngulo is�sceles.
> > Analogamente, podemos concluir que APH[8] �
ret�ngulo
> is�sceles. Como o lado
> > AP � comum, podemos dizer que os tri�ngulo APH[1] e
> APH[8] s�o congruentes
> > pelo crit�rio ALA. Considerando X como a medida do
> lado do oct�gono regular
> > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH
[1]
> = PH[8] = X/2 (iii)
> >
> > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto
PO
> = L/2 (iv)
> >
> > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na
> igualdade (i), teremos:
> > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
> >
> > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
> >
> > Atenciosamente,
> >
> > Rog�rio Moraes de Carvalho
> > ______________________________________
> > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> [EMAIL PROTECTED] On
> > Behalf Of Thor
> > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> > To: [EMAIL PROTECTED]
> > Subject: [obm-l] Geom. Plana
> >
> > �
> > �
> > Dois quadrados conc�ntricos de per�metro P , cada ,
> s�o interceptados de
> > modo que os pontos de interse��o
> > de seus lados sejam os v�rtices de um oct�gono
> regular.Qual � o lado desse
> > oct�gono em fun�ao de P?
> > �
> > �
> > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e
dai
> parei!!!!
> > �
> > ��� Agrade�o desde de j�.
> >
> >
> >
> >
>
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> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e
usar
> a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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>
> Atenciosamente,
>
> Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Usu�rio de GNU/Linux
>
>
>
>
________________________________________________________
__________________
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - � gr�tis!
> http://antipopup.uol.com.br/
>
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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