Okay, concordo! Por�m, n�o mencionei na minha solu��o por ME PARECER meio direto, desculpe. Tipo, olhando para os �ngulos XJB e OCB, conclu�mos que eles t�m mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC � comum e os segmentos XJ e OC s�o //), ou seja 45� , dai completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja, BIX vale 45 tambem.
Falow, at�. > Ol� Osvaldo, > > N�o h� dados suficientes no enunciado do problema que permitam que > voc� conclua de forma DIRETA que os tri�ngulos ABC e IBJ s�o semelhantes. � > f�cil e direto concluir que os �ngulos do tri�ngulo ABC s�o os seguintes: > <ABC = 90�, <BCA = 45� e <CAB = 45�, uma vez que se trata de um tri�ngulo > ret�ngulo is�sceles (AB = BC = L e <ABC = 90�). Por�m, apesar de podermos > concluir diretamente que no tri�ngulo IBJ o �ngulo <IBJ = 90�, n�o se pode > concluir diretamente que <BJI = 45� ou <JIB = 45�. Sendo assim, n�o � > correto fazer a semelhan�a entre os tri�ngulos ABC e IBJ pelo crit�rio AA~, > a n�o ser que se prove antes que um dos �ngulos agudos do tri�ngulo IBJ � > igual a 45�. Uma poss�vel demonstra��o est� colocada na solu��o que eu > propus. > > Atenciosamente, > > Rog�rio Moraes de Carvalho > -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On > Behalf Of Osvaldo > Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 13:58 > To: obm-l > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana > > E ai Th�r! > > > Creio que uma outra res. poss�vel seja algo como esta: > > Dois quadrados com mesmo per�metro s�o certamente > congruentes. > Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados t�m > per�metro P, assim P=l/4 > > Fa�a o desenho. Sejam A,B,C,D os v�rtices do primeiro > quadrado e sejam E,F,G,H os v�rtices do outro quadrado > de tal forma que B est� mais proxima de EF. Sejam I e J > as intersec��es de EF com os lados AB e BC, > respectivamente; O o centro dos quadrados e X a > intersec��o de OB com o lado EF. > > Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ s�o > semelhantes caso ~AA. Da propor��o AC/OB=IJ/XB > temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ � o lado do oct�gono > regular. > > Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao lado > do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, l.sqrt > (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2 > Observe que o triang. ret. XBJ � isosceles, logo o lado > do oct�gono corresponde a duas vezes y ou seja l.(sqrt > (2)-1)= > (P/4).(sqrt(2)-1) > > Falow ai > > > > > > Ol� Thor, > > > > Segue uma resolu��o poss�vel para esta quest�o. > > > > > > RESOLU��O POSS�VEL: > > > > Se os dois quadrados conc�ntricos t�m os mesmos > per�metros (P), ent�o eles > > s�o congruentes, pois ter�o os mesmos lados (L = > P/4). Como o esbo�o da > > figura � muito importante para facilitar a > compreens�o da resolu��o, segue a > > descri��o do mesmo. > > > > Seja ABCD um quadrado de per�metro P, lado L (L = > P/4) e centro O. Agora > > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da rota��o > de um �ngulo BETA de > > ABCD em torno da sua origem O no sentido hor�rio, tal > que 0 < BETA < 90�. > > Nomeie os pontos de interse��o dos dois quadrados > como H[1], H[2], H[3], > > ..., H[8] no sentido hor�rio partindo do ponto de > interse��o mais pr�ximo de > > A no segmento AB. > > > > Segue a demonstra��o de que o �ngulo BETA (<AOA') de > rota��o do quadrado > > ABCD deve ser igual a 45�. > > Para isto, considere P o ponto de interse��o do > segmento AO com o lado D'A' > > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interse��o do > segmento A'O com o lado AB > > do quadrado ABCD. No quadril�tero PH[1]QO o �ngulo <PH > [1]Q corresponde a um > > dos �ngulos internos de um oct�gono regular (dado do > enunciado), ent�o: > > <PH[1]Q = (8 - 2).180�/8 = 135� > > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180� => <PH[1]A + 135� = 180� => > <PH[1]A = 45� > > <PAH[1] = 45� (�ngulo agudo formado entre uma > diagonal e um lado do quadrado > > ABCD) > > Pelo Teorema do �ngulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] + > <PH[1]A => <OPH[1] = 90� > > Analogamente, conclu�mos que <H[1]QO = 90� > > A soma dos �ngulos internos do quadril�tero OPH[1]Q � > igual a 360�, > > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360� > => 90� + 135� + 90� + > > BETA = 360� => BETA = 45� > > > > Observe que: AO = AP + PO (i) > > > > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto AO > = L.sqr(2)/2 (ii) > > > > AP: metade do lado do oct�gono regular (X/2), pois na > dedu��o do �ngulo de > > rota��o (BETA) n�s conclu�mos que o tri�ngulo APH [1] > � ret�ngulo is�sceles. > > Analogamente, podemos concluir que APH[8] � ret�ngulo > is�sceles. Como o lado > > AP � comum, podemos dizer que os tri�ngulo APH[1] e > APH[8] s�o congruentes > > pelo crit�rio ALA. Considerando X como a medida do > lado do oct�gono regular > > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH [1] > = PH[8] = X/2 (iii) > > > > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto PO > = L/2 (iv) > > > > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na > igualdade (i), teremos: > > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L > > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4 > > > > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4 > > > > Atenciosamente, > > > > Rog�rio Moraes de Carvalho > > ______________________________________ > > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- > [EMAIL PROTECTED] On > > Behalf Of Thor > > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25 > > To: [EMAIL PROTECTED] > > Subject: [obm-l] Geom. Plana > > > > � > > � > > Dois quadrados conc�ntricos de per�metro P , cada , > s�o interceptados de > > modo que os pontos de interse��o > > de seus lados sejam os v�rtices de um oct�gono > regular.Qual � o lado desse > > oct�gono em fun�ao de P? > > � > > � > > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e dai > parei!!!! > > � > > ��� Agrade�o desde de j�. > > > > > > > > > ======================================================== > ================= > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar > a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ======================================================== > ================= > > > > Atenciosamente, > > Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira > Osvaldo Mello Sponquiado > Usu�rio de GNU/Linux > > > > ________________________________________________________ __________________ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - � gr�tis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > ======================================================== ================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================== ================= > > > > ======================================================== ================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ======================================================== ================= > Atenciosamente, Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usu�rio de GNU/Linux __________________________________________________________________________ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. 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