Ol� Thor,
Segue uma resolu��o poss�vel para esta quest�o.
RESOLU��O POSS�VEL:
Se os dois quadrados conc�ntricos t�m os mesmos per�metros (P), ent�o eles
s�o congruentes, pois ter�o os mesmos lados (L = P/4). Como o esbo�o da
figura � muito importante para facilitar a compreens�o da resolu��o, segue a
descri��o do mesmo.
Seja ABCD um quadrado de per�metro P, lado L (L = P/4) e centro O. Agora
obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da rota��o de um �ngulo BETA de
ABCD em torno da sua origem O no sentido hor�rio, tal que 0 < BETA < 90�.
Nomeie os pontos de interse��o dos dois quadrados como H[1], H[2], H[3],
..., H[8] no sentido hor�rio partindo do ponto de interse��o mais pr�ximo de
A no segmento AB.
Segue a demonstra��o de que o �ngulo BETA (<AOA') de rota��o do quadrado
ABCD deve ser igual a 45�.
Para isto, considere P o ponto de interse��o do segmento AO com o lado D'A'
do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interse��o do segmento A'O com o lado AB
do quadrado ABCD. No quadril�tero PH[1]QO o �ngulo <PH[1]Q corresponde a um
dos �ngulos internos de um oct�gono regular (dado do enunciado), ent�o:
<PH[1]Q = (8 - 2).180�/8 = 135�
<PH[1]A + <PH[1]Q = 180� => <PH[1]A + 135� = 180� => <PH[1]A = 45�
<PAH[1] = 45� (�ngulo agudo formado entre uma diagonal e um lado do quadrado
ABCD)
Pelo Teorema do �ngulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] + <PH[1]A => <OPH[1] = 90�
Analogamente, conclu�mos que <H[1]QO = 90�
A soma dos �ngulos internos do quadril�tero OPH[1]Q � igual a 360�,
portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360� => 90� + 135� + 90� +
BETA = 360� => BETA = 45�
Observe que: AO = AP + PO (i)
AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto AO = L.sqr(2)/2 (ii)
AP: metade do lado do oct�gono regular (X/2), pois na dedu��o do �ngulo de
rota��o (BETA) n�s conclu�mos que o tri�ngulo APH[1] � ret�ngulo is�sceles.
Analogamente, podemos concluir que APH[8] � ret�ngulo is�sceles. Como o lado
AP � comum, podemos dizer que os tri�ngulo APH[1] e APH[8] s�o congruentes
pelo crit�rio ALA. Considerando X como a medida do lado do oct�gono regular
H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH[1] = PH[8] = X/2 (iii)
PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto PO = L/2 (iv)
Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na igualdade (i), teremos:
L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
Atenciosamente,
Rog�rio Moraes de Carvalho
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From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Thor
Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Geom. Plana
�
�
Dois quadrados conc�ntricos de per�metro P , cada , s�o interceptados de
modo que os pontos de interse��o
de seus lados sejam os v�rtices de um oct�gono regular.Qual � o lado desse
oct�gono em fun�ao de P?
�
�
Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e dai parei!!!!
�
��� Agrade�o desde de j�.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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