Claudio Buffara said: > on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> algu�m pode me ajudar nessas duas: >> >> >> 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfa�am a >> rela��o abaixo >> x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. >> > Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a > seguinte conjectura: > As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2). > > No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma > fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia? > [...]
Note que a equa��o equivale a x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0. Para que x seja inteiro, � necess�rio e suficiente que o discriminante da equa��o seja um quadrado perfeito (� necess�rio pois x � racional, � suficiente pois x � inteiro alg�brico, e todo inteiro alg�brico � inteiro). Logo 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4^y + 1 = z^2 <=> (2y^2 + y + 1)^2 - y^2 + 2y = z^2 <=> (2y^2 + y + 1)^2 - z^2 = y^2 - 2y <=> (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y. Se y = 0, 1, 2, ent�o a equa��o original equivale a x(x+1) = 0, x(x+1) = 4, x(x+1) = 30, respectivamente. A segunda equa��o n�o tem solu��o, a primeira d� duas solu��es (0, 0) e (-1, 0); a terceira d� outras duas, (5, 2) e (-6, 2). Caso y < 0 ou y > 2, y est� fora do intervalo das ra�zes de y^2 - 2y, logo y^2 - 2y > 0. Como z � n�o-negativo sem perda de generalidade, 2y^2 + y + 1 + z = (7/4)*y^2 + (y/2 + 1)^2 + z > 0, pois � soma de termos positivos (y/2 + 1 e y n�o podem ser ambos zero). Logo 2y^2 + y + 1 - z > 0, pois quando multiplicado por um n�mero positivo (2y^2 + y + 1 + z) d� como resultado um n�mero positivo (y^2 - 2y). Logo 2y^2 + y + 1 - z >= 1, pois � inteiro. Mas ent�o 2y^2 + y + 1 <= 2y^2 + y + 1 + z <= (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y <=> y^2 + 3y + 1 <= 0 <=> (-3-sqrt(5))/2 <= y <= (-3+sqrt(5))/2 <=> -2 <= y <= -1. Logo y = -1 ou y = -2. Substituindo na equa��o original, x(x+1) = 0 ou x(x+1) = 10, respectivamente. O primeiro caso d� duas solu��es, (0, -1) e (-1, -1). A segunda n�o tem solu��es. Logo a equa��o tem exatamente seis solu��es inteiras: (-1, -1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (-6, 2) e (5, 2). []s, -- F�bio "ctg \pi" Dias Moreira ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
