on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: > 2)Encontre as solu��es inteiras de. > > x^3 - y^3 = 999 >
A primeira observacao eh que se (a,b) eh solucao, entao (-b,-a) tambem eh. Logo, podemos nos limitar ao caso em que x > 0. Caso 1: x > y > 0. A equacao pode ser re-escrita como: (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 3^3*37 Temos 4 sub-casos a considerar: 1) x - y = 1 e x^2 + xy + y^2 = 999 2) x - y = 3 e x^2 + xy + y^2 = 333 3) x - y = 9 e x^2 + xy + y^2 = 111 4) x - y = 27 e x^2 + xy + y^2 = 37 Repare que cada um desses sub-casos se reduz a uma equacao do 2o. grau, da qual buscamos raizes inteiras. As unicas solucoes obtidas correspondem aos casos 2 e 3. Sao, respectivamente, (12,9) e (10,1). Da observacao inicial obtemos as solucoes (-9,-12) e (-1,-10). Caso 2: x > 0 > y. Nesse caso, fazendo z = -y > 0, obtemos a equacao: x^3 + z^3 = 999 ==> (x + z)*(x^2 - xz + z^2) = 3^3*37 Novamente, temos 4 sub-casos a considerar: 1) x + z = 1 e x^2 - xz + z^2 = 999 2) x + z = 3 e x^2 - xz + z^2 = 333 3) x + z = 9 e x^2 - xz + z^2 = 111 4) x + z = 27 e x^2 - xz + z^2 = 37 Nenhuma das 4 equacoes do 2o. grau resultantes tem raizes inteiras (o que eh mais ou menos obvio, jah que x e z sao positivos) Logo, as unicas solucoes sao: (12,9), (-9,-12), (10,1) e (-1,-10). []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
