on 17.08.03 10:44, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Reciprocamente, se existe um x satisfazendo x^2 + 1 == 0 (mod p). Temos p > dividindo x^2 + 1 = (x + i)(x - i). Mas o dom�nio Z[i] � fatorial (de > fatora��o �nica), portanto se p for irredut�vel (em Z[i]) ele deve dividir x > + i ou x - i. Se p(e + fi) = x +- i ent�o pf = +-1, contradi��o, logo p � um > elemento redut�vel de Z[i]. Ou seja, p = (a + bi)(c + di). Tomando normas: > p^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2), que implica (sem perda de generalidade) que p > = (a^2 + b^2). Mas os quadrados m�dulo 4 s�o 0 e 1, logo p � == 0, 1 ou 2 > (mod 4), como ele � �mpar s� resta a possibilidade p == 1 (mod 4). > Oi, Duda:
Repare que voce acabou provando que se x^2 + 1 == 0 (mod p) tem solucao, entao p pode ser expresso como soma de 2 quadrados. Como a congruencia tem solucao se e somente se p = 2 ou p == 1 (mod 4), isso implica que, se p eh um primo, entao: p = 2 ou p == 1 (mod 4) ==> p eh soma de 2 quadrados. De fato, o seu argumento tambem mostrou que a condicao eh necessaria e suficiente, uma vez que nenhum primo p tal que p == 3 (mod 4) pode ser soma de 2 quadrados. Isso eh facil de ver pois, como um quadrado soh pode ser == 0 ou 1 (mod 4), a soma de 2 quadrados soh pode ser == 0, 1 ou 2 (mod 4). Alem disso, tambem eh verdade que essa representacao como soma de 2 quadrados eh unica. Esse eh, na minha opiniao, um dos resultados mais bonitos da matematica a nivel de 2o. grau (apesar de nao fazer parte do curriculo oficial de 2o. grau). Voce usou o fato de que Z[i] tem fatoracao unica, o que encurta bastante a demonstracao, ao custo de introduzir nos. complexos na historia. A demonstracao que eu tenho em mente usa apenas aritmetica em Z e o principio das casas de pombos. Quando eu fizer a compilacao dos resultados da enquete, vou apresentar um roteiro dessa demonstracao pro pessoal da lista tentar. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
