On Mon, Nov 04, 2002 at 12:09:38AM -0200, Felipe Villela Dias wrote:
> Um moeda � viciada, ou seja tem uma probabilidade p, p diferente de 50%, de
> dar cara e uma probabilidade 1 - p de dar coroa. Sendo assim, se voc� jogar a
> moeda infinitas qual a probabilidade de que em pelo menos um instante o
> n�mero de vezes que saiu cara vai ser igual ao n�mero de vezes que saiu
> coroa?
N�o vai dar para dar uma demonstra��o totalmente rigorosa mas acho
que isso deve deixar voc� satisfeito.
Suponha p < 1/2, assim cara � menos prov�vel e a longo prazo teremos
mais coroas do que caras. Supondo que em um certo instante as coroas
tenham uma vantagem n, seja f(n) a probabilidade de que naquele instante
ou mais tarde venhamos a ter um empate. Se n = 0 temos f(n) = 1
por defini��o. Se n < 0 tamb�m temos f(n) = 1 pois as coroas inevitavelmente
superar�o qualquer desvantagem. O dif�cil � saber quanto vale f(n) para
n > 0. Observe que claramente temos 0 < f(n) < 1 para todo n > 0
e temos tamb�m lim_{n -> infinito} f(n) = 0. Al�m disso, para todo n > 0
temos
f(n) = p f(n-1) + (1-p) f(n+1)
pois jogando uma vez a moeda reduzimos o problema ao caso n-1 ou n+1
conforme sair cara ou coroa, respectivamente. � natural agora conjecturar
(e f�cil provar) que
f(n) = a^n para n >= 0 onde a = p/(1-p).
A resposta para o seu problema n�o � f(0) (que � 1 por defini��o)
pois a� n�o contamos o empate inicial de 0x0 antes do jogo come�ar.
A resposta � portanto
p f(-1) + (1-p) f(1) = p + p = 2p.
No caso p > 1/2 basta trocar todos os p por 1-p e a resposta � 2(1-p).
[]s, N.
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