Boa noite,
Yes, the countability of the algebraic numbers is an obvious corollary to
the enumerability of the rational numbers via the original zig-zag method
which Cantor used. For the zig-zag function z from
\mathbb{N}\mapsto\mathybb{N}^2 is from natural numbers to ordered pairs of
natural numbers. If z(n)=(l^n_z, r^n_z), let the rightmost triple be
(l^n_z,,z(r^n_z)). And so on. Each equation a_nx^n + ... a_1x^1 + a_0
and root m\le n corresponds with a tuple (m, a^n, ..., a^1, a_0). The use
of Cantor's z-function to define tuples now guarantees that all equations
of the form a_nx^n + ... a_1x^1 + a_0 with root m\le n corresponds with
a tuple, as per above, such that the tuple is z(o) for a natural number o.
However, this was not obvious to Cantor as ordered pairs first came to
light at the beginning of the First World War.
Best
Frode
onsdag 4. mars 2026 kl. 00:20:37 UTC-3 skrev Frode Alfson Bjørdal:
Hei igjen,
Pressupus que Cantor usou a função de emparelhamento ao provar que os
números racionais são enumeráveis. Teríamos então sequências de números
naturais como (a0,...,an+1), onde an+1=n indica as raízes algébricas da
equação anx^n + ... + a1x^1 + a0. Mas acabei de ler que Cantor formalizou a
função de emparelhamento um pouco mais tarde, pois pode ser que o corolário
não fosse tão óbvio quanto eu pensei. Ou será que essas coisas eram
igualmente óbvias, como visto no método Zig-Zag que Cantor usou
primeiramente, e do qual extraiu a função de emparelhamento?
Saudações de Frode
tirsdag 3. mars 2026 kl. 21:05:36 UTC-3 skrev samuel:
Olás
Não sei se na época era tão claro que "união enumeravel de finitos é
enuneravel", que é o jeito mais fácil de verificar a enumerabilidade dos
algébricos.
Pensar então numa intrincada prova que eliminasse a necessidade do Axioma
da Escolha (que entra na justificativa da frase entre aspas do parágrafo
anterior), talvez menos ainda - é essa eliminação é possível via uma
ordenação cuidadosa e canônica dos polinomios.
Mas não sei qual foi o argumento de Dedekind.
Abraços
[]s Samuel
------------------------------
*De: *Frode <[email protected]>
*Para: *LOGICA-L <[email protected]>
*Cc: *jmstern <[email protected]>; Joao <[email protected]>; LOGICA-L <
[email protected]>; [email protected] <[email protected]>; samuel <
[email protected]>
*Data: *terça-feira, 3 de março de 2026 às 14:40 -03
*Assunto: *Re: [Logica-l] Re: Cantor, plagiador serial de Dedekind
Viva!
Cantor já tinha provado que os números racionais são enumeráveis, e é um
corolário evidente que os números algébricos também o são.
Abraços
Frode
mandag 2. mars 2026 kl. 13:36:32 UTC-3 skrev jmstern:
Concordo com a Itala:
Viva Cantor!
Viva Dedekind!
--
Ha que se esclarecer o papel de Kronecker,
que parece ter sido um Editor Tirano...
--
Tudo de bom, ---Julio
------------------------------
*From:* [email protected] <[email protected]> on behalf of Itala
Maria Loffredo Dottaviano <[email protected]>
*Sent:* Monday, March 2, 2026 12:12 AM
*To:* Samuel Gomes da Silva <[email protected]>
*Cc:* Joao Marcos <[email protected]>; LOGICA-L <[email protected]>
*Subject:* Re: [Logica-l] Re: Cantor, plagiador serial de Dedekind
Incrível e muito interessante e surpreendente esta leitura!
Eu já conhecia o texto de José Ferreirós,
Entretanto, concordo com Samuel. Cantor publicou seu artigo, usando o
resultado sobre os números algébricos sem mencionar Dedekind, mas o resto é
seu e não de Dedekind.
E as ideias iniciais, sobre as quais havia discutido com Dedekind, eram
dele, Cantor.
VIva Cantor!
Viva Dedkind!
Itala
Em sex., 27 de fev. de 2026 às 14:16, 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L <
[email protected]> escreveu:
... Emails e posts do MathOverflow e MathStackExchange...
Até, vou dar uma olhada, obrigado
[]s Samuel
-----Mensagem original-----
De: Joao <[email protected]>
Para: samuel <[email protected]>
Cc: LOGICA-L <[email protected]>
Data: sexta-feira, 27 de fevereiro de 2026 às 14:09 -03
Assunto: Re: Cantor, plagiador serial de Dedekind
Viva, Samuel:
Um resumo DIAGONAL da história pode ser encontrado aqui:
https://dailynous.com/2026/02/27/cantors-plagiarism/
O trabalho do Ferreirós, de 1993, pode ser encontrado aqui:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S031508608371030X
Na época ainda não haviam sido encontradas as evidências do crime, na
forma de cartas que andavam até o momento "desaparecidas". No futuro
usaremos emails como evidência?
Abraços,
João Marcos
On Fri, Feb 27, 2026 at 1:55 PM samuel <[email protected]> wrote:
>
> ... eu só não entendi o que exatamente Cantor roubou (li muito
rapidamente, só na DIAGONAL hahaha)
>
> Parece que o resultado sobre os algébricos serem enumeráveis sim Cantor
roubou, mas não vi em nenhuma
> parte se Cantor teria roubado também o argumento diagonal.
>
> Abraços
>
> []s Samuel
>
> Em sexta-feira, 27 de fevereiro de 2026 às 13:34:28 UTC-3, Joao Marcos
escreveu:
>>
>> The Man Who Stole Infinity
>> https://www.quantamagazine.org/the-man-who-stole-infinity-20260225/
>>
>> JM
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https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/
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Prof. Dr. Itala M. Loffredo D'Ottaviano
Full Professor in Logic and the Foundations of Science
Member and Researcher of the *Centre for Logic, Epistemology and the* *History
of Science* at the University of Campinas
Research Fellow of the *Brazilian National Council for Scientific and
Technological Development*
Titular Member, *Brazilian Academy of Philosophy* (Rio de Janeiro)
Emeritus Member, *Académie Internationale de Philosophie de Sciences *
(Bruxelles)
Titular Member, *Institut International de Philosophie *(Paris-Nancy)
Editor of *Coleção CLE, *by the* Centre for Logic, Epistemology and the*
*History
of Science.*
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