Muito obrigada, Walter! abs Valeria On Tue, Jan 16, 2024 at 10:37 AM Walter Carnielli <walte...@unicamp.br> wrote:
> Ola Valeria, > > Tenho muita satisfação em falar sobre meus professores do Colégio Culto à > Ciência de Campinas, realmente uma das melhores partes da minha educação. > > A professora Ausenda Fratini e seu irmão Amaury Fratini eram dois > professores de matemática tradicionais do colégio Culto à Ciência, que se > orgulha de ter tido Santos Dumont entre seus alunos. > > A professora Ausenda era muito séria, bem magra assim com aspecto > ascético, solteira, mas bastante gentil, jamais levantava a voz e jamais > perdia a paciência. > > Minha impressão é que ela conhecia bastante bem a tal "matemática moderna" > da época, que era a teoria elementar de conjuntos e lógica proposicional > com slgumas pinceladas de quantificacao, aplicadas a ideias matemáticas na > educação. > > Sua especialidade era geometria elementar, teoria do números muito > simples e trigonometria. > > > Parte da sua técnica (que eu acho maravilhosa até hoje) era "problem > solving", resolver problemas desses que caem nas olimpíadas de Matemática > para principiantes. > > Eu acho que resolver uma centena desses problemas na vida ajuda a > compreender profundamente a matemática elementar. > > Uma vez encontrei o professor Amaury Fratini numa festa, ele estava com > mais de 90 anos. > > Disse a ele que eu havia escolhido a carreira de matemático, em parte como > consequência das aulas dele e da irmã-- > ele me abraçou profusamente e me disse "plantamos nossa semente" :-) > > Me sinto feliz em ter plantado as minhas, inclusive nesse grupo ! > > Abraços, e obrigado pelo interesse, > > Walter > > > > Em ter., 16 de jan. de 2024 11:41, Valeria de Paiva < > valeria.depa...@gmail.com> escreveu: > >> Alo Walter, >> >> Eu fiquei bem interessada nessa parte da sua resposta ao Joao Marcos: >> >> >A Professora Ausenda Fratini, uma espécie de Emmy Noether nacional (até >> bem parecida), adorava mostrar demonstrações simples em geometria, à la >> Euclides. >> >> O que mais vc sabe dizer sobre a professora Ausenda Fratini? >> muito obrigada, >> >> Valeria >> >> On Thu, Dec 28, 2023 at 4:29 PM Walter Carnielli <walte...@unicamp.br> >> wrote: >> >>> Oi João: >>> >>> Vou tentar esclarecer melhor. >>> Acho que esse esforço por parte dos professores tinha a ver com o >>> movimento da chamada "Matemática Moderna", que era basicamente o apoio >>> de tudo na teoria elementar de conjuntos. >>> Vou tentar esclarecer o que se fazia, na direção do que você apontou >>> como (1). >>> >>> Muitos enunciados em geometria, que era o que mais tínhamos de >>> "matemática", são do tipo: >>> "Para todo coiso em um certo conjunto, se o coiso tem uma >>> propriedade X, então ele tem uma propriedade Y." >>> >>> A partir desse entendimento, que não envolve apenas tabelas-verdade >>> mas também quantificação mínima, uma prova seria: >>> >>> Suponha que x seja um coiso particular, mas genérico, que tem a >>> propriedade X. Então basta mostrar que o elemento tem também a >>> propriedade Y. >>> Por exemplo: >>> Provar que, para todo triângulo (coiso que está em um certo >>> conjunto), se ele for isósceles, então tem dois ângulos iguais. >>> >>> A(o) estudante aprende a fazer um desenho como um recurso heurístico >>> que mostra um triângulo genérico, nota que "isósceles" significa ter >>> dois lados iguais, e >>> pode usar a propriedade LAL para verificar que o triângulo isósceles >>> é semelhante a si mesmo "virado", e daí deduz que há de fato dois >>> ângulos iguais. >>> >>> Não é uma demonstração que figuraria num tratado de geometria, mas >>> treina o raciocínio do(a) estudante. >>> >>> Outra coisa que ele(a) aprende rapidamente é que basta achar um >>> contraexemplo, e que aí a coisa não funciona mais, porque se aprende >>> alguma relação entre "qualquer" e "existe". >>> >>> Do ponto de vista de tabelas de verdade propriamente, aprende-se que >>> os rudimentos da Lei da Explosão são "Falso deduz qualquer coisa", e >>> que por isso os axiomas da Geometria >>> devem ser bem escolhidos, críveis, os tais "postulados". >>> >>> Entender a tabela verdade também ajuda muito a compreender a diferença >>> entre "X implica Y" e "X é equivalente a Y". >>> >>> Por exemplo, evitava um erro comum em demonstrações de >>> trigonometria, onde se começa de um lado e às vezes se chega na >>> mesma coisa- alguns tinham dificuldade em enteder que isso náo é >>> uma demonstação. >>> >>> A Professora Ausenda Fratini, uma espécie de Emmy Noether nacional >>> (até bem parecida), adorava mostrar demonstrações simples em >>> geometria, à la Euclides. >>> >>> Para mim, esses usos simples e intuitivos foram bem educativos. >>> Abs, >>> >>> Walter >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> Em qui., 28 de dez. de 2023 às 19:25, Joao Marcos <botoc...@gmail.com> >>> escreveu: >>> > >>> > Muito obrigado pela resposta, Walter! >>> > >>> > Do que você nos conta sou levado a concluir que o uso relaxado da >>> > Lógica para justificar certas passagens argumentativas é mais ou menos >>> > _tradicional_ entre os professores de matemática brasileiros, e há >>> > bastante tempo. Talvez o ponto (1) que você levantou ajude a explicar >>> > a razão pela qual isto ocorre. >>> > >>> > %%% >>> > >>> > Sobre o seu ponto (2), que me parece estar relacionado ao que escrevi >>> > na minha resposta ao Adolfo, confesso que não compreendo bem como os >>> > "procedimentos de prova" usuais da matemática seriam justificados >>> > "baseado na tabela da implicação". Talvez seja isto justamente uma >>> > das coisas que mais me incomoda... Esta conexão entre tabelas de >>> > verdade e estratégias de demonstração, digamos, via raciocínio >>> > hipotético, contraposição, ou redução ao absurdo, me parece ser, >>> > quando muito, _obscura_. Exemplifico a minha perplexidade a este >>> > respeito com o teorema citado no item (B2) da minha mensagem original >>> > neste fio: >>> > "Seja C um coiso com as propriedades A e B. >>> > Então C tem a propriedade D." >>> > [o que segue é o que eu chamaria de "demonstração típica", >>> > estruturada, por contraposição] >>> > ENUNCIADO FORMAL: >>> > Seja C um objeto de tipo D com a propriedade A. >>> > Demonstre que C tem a propriedade B. >>> > DEMONSTRAÇÃO: >>> > > Declaração: Considere um objeto C arbitrário de tipo D. >>> > % Objetivo: Queremos demonstrar que A(C) implica em B(C). >>> > >> Para tal efeito, suponhamos <por contraposição> que não-B(C) é o >>> caso. >>> > %% Novo objetivo: Queremos concluir não-A(C). >>> > [preencha o argumento com detalhes específicos, de acordo com os >>> > detalhes concretos dos conceitos usados no enunciado] >>> > Note-se que não há nenhum papel para tabelas de verdade, acima, na >>> > argumentação "típica" apresentada. >>> > >>> > %%% >>> > >>> > Acrescento, por fim, que não vejo porque discordar das suas críticas >>> > sobre o "Ensino Colegial", mas reitero a minha questão inicial: será >>> > que o estudo de tabelas de verdade (que, no meu entendimento, não >>> > ajudam nada ou quase nada no quesito "métodos de demonstração") não >>> > teriam melhor lugar, de fato, no estudo pré-universitário? >>> > >>> > Abraços, >>> > Joao Marcos >>> > >>> > On Wed, Dec 27, 2023 at 1:00 PM Walter Carnielli <walte...@unicamp.br> >>> wrote: >>> > > >>> > > Olá João e. outra(o)s interessados: >>> > > >>> > > Dou aqui minha contribuição sobre a questão. Estudei matemática de >>> > > forma profissional na Unicamp por 7 anos, bacharelado, mestrado e >>> > > doutorado,e depois pós-doutorado na Universidade de Califórnia e em >>> > > Münster, na Alemanha. Nunca. ninguém usou coisas elementares de >>> > > lógica em disciplinas e matemática, nem no IMPA, na Unicamp, USP, >>> > > Berkeley, , Münster, etc, Mas todos tinham. por trás a. premissa >>> > > que os estudantes sabiam essas coisas. através do ensino médio. >>> > > (chamado "colegial". na. época, muito. melhor. nome). >>> > > >>> > > E de fato durante meus 7 anos de "ginásio" e. "colégio"no Culto à >>> > > Ciência os professores de matemática, com formação em Rio Claro e >>> na >>> > > PUC na época, tinham uma boa noção de lógica, pelo menos intuitiva. >>> > > Não citavam a questão da completude, ou compacidade, mas >>> > > enfatizavam o seguinte: >>> > > >>> > > 1) "Similaridade " (isomorfismo) ) entre as operações lógicas e as >>> > > operações conjuntistas (no fundo, uma versão intuitiva do Teorema de >>> > > Representação de Stone.). >>> > > 2) Falavam dos procedimentos ds. prova. por redução ao absurdo, >>> > > baseado na. tabela da . implicação, em especial usos de equivalência >>> > > em demonstrações elementares de trigonometria >>> > > 3) Mencionavam sempre as tabelas usuais da conjunção, disjunção, >>> > > implicação, negação para. guiar o raciocínio >>> > > 4) Sempre se mencionavam rudimentos de. lógica quantificada >>> > > (existencial, universal, etc) >>> > > 5) Esclarecem o papel dos axiomas principalmente em geometria >>> > > 6) Mostravam métodos heurísticos de solução de e problemas com régua >>> > > e compassos (como o método de e Pappus de Alexandria, em "supor um >>> > > problema resolvido para tentar a solução" ) >>> > > etc. >>> > > >>> > > Tudo isso a gente já sabia quando entrava em um curso de matemática, >>> > > física, engenharia e computação. Nao se vê mais nada disso, Os >>> > > professores de ensino médio não têm a menor ideia. >>> > > Mas de fato, alguns expositores no YouTube, da velha escola, >>> mencionam >>> > > coisas assim. >>> > > Por tudo isso acho fundamental voltar a ensinar essas coisas aos >>> > > nossos estudantes universitários, >>> > > >>> > > Abs >>> > > >>> > > Walter >>> > > >>> > > Em ter., 26 de dez. de 2023 às 12:46, Joao Marcos < >>> botoc...@gmail.com> escreveu: >>> > > > >>> > > > PessoALL: >>> > > > >>> > > > Uma conversa com um colega estes dias me motivou a escrever a >>> presente >>> > > > mensagem, que tem tanto um componente sociológico quanto um >>> componente >>> > > > mais propriamente lógico (bem como um interesse de fundo >>> pedagógico). >>> > > > >>> > > > %%% >>> > > > >>> > > > (A) >>> > > > >>> > > > Segundo meu colega, é bem comum nas aulas, nos vídeos e nos livros >>> de >>> > > > Matemática pelo Brasil (talvez fora do Brasil também?) um uso mais >>> ou >>> > > > menos relaxado[§] da Lógica para justificar certas passagens >>> > > > argumentativas. Em particular, muitos professores de Matemática >>> > > > presumivelmente acenariam para a possibilidade de justificar >>> > > > estratégias de demonstração (digamos, o raciocínio por >>> contraposição) >>> > > > usando *tabelas de verdade*, o que também explicaria a razão pela >>> qual >>> > > > vários livros de "matemática elementar" ---usados a nível de >>> > > > graduação, vejam bem---, bem como vários vídeos no YouTube também >>> > > > falariam de tabelas de verdade como um procedimento matematicamente >>> > > > relevante para esclarecer ou fundamentar a lógica subjacente a um >>> > > > determinado argumento matemático. >>> > > > >>> > > > [§] O adjetivo "relaxado", acima, aponta para usos absolutamente >>> > > > informais de tautologias como justificativas para certas passagens, >>> > > > através de rabiscos feitos ao lado da demonstração principal, no >>> > > > quadro, supostamente para "explicar por que a coisa funciona". >>> > > > Note-se, em particular, que em tais usos nunca há qualquer menção a >>> > > > resultados de completude, digamos, conectando tabelas e >>> demonstrações >>> > > > formais (ou semi-formais). >>> > > > >>> > > > As primeiras perguntas que me vêm à mente sobre aquilo que foi >>> relatado acima: >>> > > > (A1) Quais as opiniões de vocês ---seja como discentes, seja como >>> > > > docentes--- acerca das situações suprarreferidas, a partir de suas >>> > > > experiências em sala de aula? >>> > > > (A2) Quais destes procedimentos ---tabelas de verdade? argumentos >>> > > > dedutivos? estratégias de demonstração?--- poderiam (ou deveriam) >>> ser >>> > > > trazidos para mais cedo, para o ensino pré-universitário, com >>> alguma >>> > > > vantagem para os alunos? >>> > > > >>> > > > (A minha impressão inicial sobre A2 seria de que não há nada no >>> > > > procedimento das tabelas de verdade, em particular, possivelmente >>> > > > usadas para ensinar "raciocínio lógico" ---resolver charadas, por >>> > > > exemplo---, que precise ou deva esperar até além do Ensino Médio. >>> Mas >>> > > > também não estou seguro de o quanto isto tudo ajudaria quando a >>> > > > "matemática de verdade" ---vejam o item B, abaixo--- chega, no >>> Ensino >>> > > > Superior.) >>> > > > >>> > > > %%% >>> > > > >>> > > > (B) >>> > > > >>> > > > Esta segunda parte é talvez mais opiniosa (opiniática?), da minha >>> parte. >>> > > > >>> > > > Mesmo ciente de que muitos livros de "matemática elementar" têm >>> seus >>> > > > capítulos sobre lógica proposicional, incluindo tabelas de >>> verdade, e >>> > > > mesmo ciente de que vários colegas gastam boas aulas sobre este >>> > > > assunto (e não estou falando de aulas sobre Circuitos Lógicos), por >>> > > > exemplo, em um curso inicial de Matemática Discreta, de Topologia, >>> ou >>> > > > de Análise, parece-me algo surpreendente que as *tabelas de >>> verdade* >>> > > > tenham um papel muito relevante para justificar argumentações >>> > > > matemáticas mais sofisticadas. Com efeito, se é fácil imaginar >>> como >>> > > > usar tabelas de verdade para procedimentos _refutativos_, por >>> exemplo, >>> > > > usar a tabela de verdade da implicação para justificar porque a >>> > > > sentença A-implica-B é falsa quando A é verdadeira e B falsa, ou >>> como >>> > > > usar a tabela de verdade da disjunção para justificar a falsidade >>> de >>> > > > uma sentença da forma A-ou-B dada a falsidade de ambos e B, >>> parece-me >>> > > > no mínimo desafiante usar diretamente as tabelas da implicação ou >>> da >>> > > > disjunção para justificar, digamos, uma demonstração por >>> _raciocínio >>> > > > hipotético_ ou uma demonstração por _raciocínio por casos_ (e eu >>> > > > provavelmente estenderia a minha perplexidade de modo a cobrir >>> > > > praticamente qualquer outra estratégia matemática clássica de >>> > > > argumentação). >>> > > > >>> > > > As primeiras perguntas que me vêm à mente, neste caso, são: >>> > > > >>> > > > (B1) Será mesmo o caso que é útil recorrer a tabelas de verdade (ou >>> > > > lógica proposicional) para justificar estratégias matemáticas mais >>> > > > sofisticadas (e absolutamente comuns)? Se pensamos em um curso de >>> > > > Análise Real, por exemplo, os passos argumentativos de mais >>> interesse, >>> > > > logo nas primeiras aulas, envolvem quantificadores aninhados. Se >>> > > > pensamos em um curso de Matemática Discreta, conceitos como >>> > > > divisibilidade, congruência-módulo, supremos e ínfimos pressupõem >>> que >>> > > > entendemos como lidar com expressões quantificadas. As >>> equivalências >>> > > > lógicas que poderiam "facilitar a vida", nestes casos, geralmente >>> > > > envolvem mais do que conectivos proposicionais --- e quer me >>> parecer >>> > > > que nem mesmo os fragmentos proposicionais das ditas >>> equivalências, no >>> > > > fundo, _precisam_ ser justificados via tabelas de verdade. >>> > > > >>> > > > (B2) Consideremos um teorema "típico" de livro-texto, em >>> Matemática: >>> > > > "Seja C um coiso com as propriedades A e B. >>> > > > Então C tem a propriedade D." >>> > > > Poderíamos traduzir isto assim, digamos: >>> > > > (\forall C:coiso)((A(C)\land B(C))\to D(C)) >>> > > > (Para ficar mais interessante a pergunta que segue abaixo, sugiro >>> > > > assumirmos que existe um coiso C que nem tem a propriedade D nem >>> falha >>> > > > a propriedade A&B.) >>> > > > Bem, baseado na parte A, acima, um uso que consigo imaginar para >>> > > > tabela de verdade, aqui, seria para justificar, digamos, a >>> > > > curryficação ---como é usual fazer em Computação ou em >>> > > > Linguística/Semântica Formal--- da sub-expressão (A(C)\land >>> B(C))\to >>> > > > D(C) para uma expressão da forma A(C)\to (B(C)\to D(C)). O >>> restante >>> > > > do raciocínio, numa demonstração direta do "teorema típico", >>> > > > tipicamente seria conduzido "identificando contextos, criando e >>> > > > descarregando hipóteses", como fazemos, por exemplo, através do >>> > > > formalismo da Dedução Natural. Vocês acham que haveria outros usos >>> > > > interessantes para tabelas de verdade, neste tipo de argumentação >>> > > > através de "raciocínio direto"? Seria justificável, para tais >>> usos, >>> > > > que gastássemos muito tempo das aulas de Matemática a nível >>> superior >>> > > > ensinando os estudantes a fazerem tabelas de verdade? >>> > > > >>> > > > (Subjacentes às minhas perguntas, claramente, está a opinião >>> > > > ---enviesada?--- de que tabelas de verdade são bem menos úteis do >>> que, >>> > > > digamos, um "filósofo tradicional" poderia imaginar, no que diz >>> > > > respeito ao trabalho diário do "matemático praticante".) >>> > > > >>> > > > %%% >>> > > > >>> > > > Agradeço desde já aos colegas desta lista por compartilharem seus >>> > > > sentimentos acerca destes assuntos. >>> > > > >>> > > > []s, Joao Marcos >>> > > > >>> > > > -- >>> > > > http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ >>> > > > >>> > > > -- >>> > > > LOGICA-L >>> > > > Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área >>> de Lógica <logica-l@dimap.ufrn.br> >>> > > > --- >>> > > > Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo >>> "LOGICA-L" dos Grupos do Google. >>> > > > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails >>> dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. >>> > > > Para acessar esta discussão na web, acesse >>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LhP2kcgF7pkWWsYHs5L10S0X6HHj9Ow9pGtQ_vQbtg-xw%40mail.gmail.com >>> . >>> > > >>> > > >>> > > >>> > > -- >>> > > ======================== >>> > > Walter Carnielli >>> > > CLE and Department of Philosophy >>> > > University of Campinas –UNICAMP, Brazil >>> > > AI2- Advanced Institute for Artificial Intelligence >>> > > https://advancedinstitute.ai/ >>> > > Blog https://waltercarnielli.com/ >>> > >>> > >>> > >>> > -- >>> > http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ >>> >>> >>> >>> -- >>> ======================== >>> Walter Carnielli >>> CLE and Department of Philosophy >>> University of Campinas –UNICAMP, Brazil >>> AI2- Advanced Institute for Artificial Intelligence >>> https://advancedinstitute.ai/ >>> Blog https://waltercarnielli.com/ >>> >>> >>> -- >>> ======================== >>> Walter Carnielli >>> CLE and Department of Philosophy >>> University of Campinas –UNICAMP, Brazil >>> AI2- Advanced Institute for Artificial Intelligence >>> https://advancedinstitute.ai/ >>> Blog https://waltercarnielli.com/ >>> >>> -- >>> LOGICA-L >>> Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de >>> Lógica <logica-l@dimap.ufrn.br> >>> --- >>> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo >>> "LOGICA-L" dos Grupos do Google. >>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >>> envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. >>> Para acessar esta discussão na web, acesse >>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAOrCsLem6Gzs20LPQ8WP%2BP8rPYTVTi0Gm%2BF-JuXwBD8a3av46A%40mail.gmail.com >>> . >>> >> -- >> LOGICA-L >> Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de >> Lógica <logica-l@dimap.ufrn.br> >> --- >> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos >> Grupos do Google. >> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >> envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. >> Para acessar essa discussão na Web, acesse >> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXudgiqCeuueCg55gYUyUm5vJbWhGNpD2jNj%3DKw2nmVCyg%40mail.gmail.com >> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXudgiqCeuueCg55gYUyUm5vJbWhGNpD2jNj%3DKw2nmVCyg%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> >> . >> > -- LOGICA-L Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logica-l@dimap.ufrn.br> --- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. Para acessar esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXsc4UcRHhwvQDxHZx48g-co3PgoEcuHxG3%3DnmS_EBCFfQ%40mail.gmail.com.
