Para além do "teorema do vaivém" de \omega-categoricidade demonstrado por Cantor, já indicado por Rodrigo, talvez valha a pena apontar também, com relação ao debatido "critério de identidade", do ponto de vista efetivo, que a teoria das ordens lineares densas sem pontos extremos possui eliminação de quantificadores (e, curiosamente, deixa de possuir se os elementos extremos forem "acrescentados" à estrutura e à sua correspondente teoria).
JM On Tue, Feb 19, 2019 at 3:05 PM Rodrigo Freire <[email protected]> wrote: > > Olá Daniel, > > 1- Sim, o teorema é conhecido, e há uma demonstração é simples: Como todas as > ordens enumeráveis densas e sem extremos são isomorfas a Q (= estrutura dos > racionais com sua ordem), basta demonstrar para esse caso. A função x + (u - > s) é um isomorfismo de Q em Q. > > 2- Para responder isso é importante considerar que essa discussão é conhecida > no contexto do estruturalismo em filosofia da matemática. Considere o > seguinte slogan estruturalista: "A estrutura tem prioridade sobre seus > indivíduos, estes devem ser entendidos apenas como posições ou papéis > desempenhados na estrutura". Vamos assumir isso. Então seria de se esperar > que os diferentes indivíduos da estrutura corresponderiam a diferentes papeis > desempenhados. Mas em uma estrutura como Q os indivíduos não podem > corresponder a papeis desempenhados desse modo. Um exemplo mais simples: > Considere a estrutura com dois indivíduos a e b e a relação binária {(a,b) , > (b,a)}. Os indivíduos a e b desempenham o mesmo papel (de estar na relação > com o outro). Como poderíamos dizer que a e b são meros papeis desempenhados > se parece que só há um papel desempenhado nessa estrutura? É desse modo que > entendo o problema, e considero um bom argumento contra o slogan > estruturalista. > > Abraço > Rodrigo > > On Tue, Feb 19, 2019 at 2:12 PM 'Durante' via LOGICA-L > <[email protected]> wrote: >> >> Caros colegas lógicos, >> >> Dia desses um colega me disse que uma ordem linear densa enumerável e sem >> extremos é uma estrutura matemática que não apresenta nenhum critério de >> identidade para os seus objetos. >> >> Dois exemplos de ordens lineares densas enumeráveis e sem os extremos são: >> >> (1) a ordem dos números racionais; >> >> (2) a ordem dos números racionais estritamente maiores do que 0 e >> estritamente menores do que 1. >> >> Minha primeira reação foi pensar: isso é bobagem! >> >> Para simplificar e exemplificar, vou argumentar aqui focando apenas no >> exemplo (2), a ordem dos racionais maiores que 0 e menores que 1. Mas tudo o >> que estou dizendo me parece facilmente generalizável para qualquer ordem >> deste tipo. >> >> Suponha que eu "pegue" um número em (2) e chame-o de 'd', e um de vocês, >> digamos o Samuel, também "pegue" um número em (2) e chame-o de 's'. Nós >> conseguiremos saber usando apenas sentenças da estrutura (2) se eu e Samuel >> pegamos o mesmo número ou não. A estrutura (2) é "forte" o suficiente para >> atribuir valor de verdade às sentenças (3) e (4) abaixo: >> >> (3) d < s >> (4) s < d >> >> Se (3) e (4) forem ambas falsas, ou seja, se nenhum dos números for menor do >> que o outro, então saberemos que escolhemos o mesmo número. Ou seja (d = s). >> Caso uma das sentenças seja verdadeira, a outra será obviamente falsa, e >> neste caso saberemos que escolhemos números diferentes. Ou seja (d ≠ s). >> >> Bem, então temos um critério de identidade na estrutura (2). Para quaisquer >> números racionais d e s maiores do que zero e menores do que um: >> >> (5) (d = s) <=> ~(d < s) & ~(s < d). >> >> Ok. Mas suponha agora que eu peça para o Samuel apontar para o número 1/2 >> usando apenas os recursos dados pela estrutura (2). Eu não tenho certeza se >> Samuel conseguiria fazer isso, mesmo sendo ele o grande matemático que todos >> sabemos que é. Como ele saberia se um dado número q desta estrutura é ou não >> igual a 1/2 sem usar nenhum recurso externo? Como ele acharia o 1/2 entre >> estes racionais? >> >> Uma resposta possível poderia ser: ora, basta ele aplicar o critério de >> identidade que definimos acima. Como 1/2 é um racional entre 0 e 1, então >> ele é um dos elementos da estrutura (2), que portanto é capaz de atribuir >> valor de verdade a (q < 1/2) e a (1/2 < q). Se ambas forem falsas, (q = >> 1/2), caso contrário, (q ≠ 1/2). Então, bastaria a Samuel, que tem os >> superpoderes de um matemático e não se preocupa com restrições meramente >> computacionais e construtivistas, fazer este teste com TODOS os números >> racionais entre 0 e 1 e apontar para aquele único que não é nem maior nem >> menor do que 1/2. Pronto. Ele conseguiria assim apontar para 1/2. >> >> Hum... mas espere um pouco. Tem uma casca de banana aí em cima. Para começar >> a fazer o teste acima, Samuel já tem que ter o número 1/2 disponível para >> comparar com todos os outros. Para conseguir apontar para o número 1/2 ele >> já teria que ter o número 1/2 à sua disposição. Mas eu o estou proibindo de >> usar qualquer informação não obtida da estrutura (2). A moral da estória é: >> ainda que 1/2 seja um dos números racionais maiores do que zero e menores do >> que um, a identificação de um número como sendo 1/2 exige mais recursos do >> que uma ordem linear densa, enumerável e sem os extremos pode nos dar. >> >> Falando isso de um jeito mais filosófico, eu diria que uma ordem linear >> densa, enumerável e sem os extremos não é suficiente para definir o conceito >> do número racional 1/2. O significado matemático de 1/2 (metade) exige mais >> do que uma tal ordem pode nos dar. Eu usei 1/2 apenas como um exemplo. Na >> verdade, nenhum número racional específico é identificável em (2). Ou, dito >> de um modo ainda mais geral, uma ordem linear densa enumerável e sem >> extremos é uma ordem tão fraca que é impossível fazer referência não ambígua >> a qualquer de seus elementos. Apesar de numericamente distintos, é como se >> todos os elementos de uma tal ordem fossem cópias da mesma coisa idêntica em >> todos os outros aspectos. >> >> Vou tentar explicar. Tudo que (2) me autoriza a afirmar de um dado elemento >> s é sua ordem relativa a outros elementos de (2). Ou seja, para afirmar algo >> de s eu preciso de outros elementos s1,...,sn e preciso posicionar s e estes >> outros elementos na ordem, tal como: >> >> (6) s1 < ... < s < ... < sn >> >> Mas seja qual for o posicionamento de s, sempre haverá infinitos outros >> objetos em (2) que se relacionam com s1,...,sn da mesma maneira que s se >> relaciona, ou seja, que ocupam a mesma posição de s apontada em (6). >> >> Então as coisas que podem ser ditas em (2) de seus elementos não os >> individualizam, porque qualquer coisa que pode ser dita em (2) de algum de >> seus elementos, pode ser dita de infinitamente muitos outros. >> >> Parece, então, que a única verdadeira identificação dos distintos indivíduos >> da estrutura (2) é a identidade numérica. Não há mais nada em (2) que os >> distinga uns dos outros. >> >> Como falar isso de um jeito mais matemático e mais simples? Como dizer de um >> jeito matematicamente simples que a estrutura (2) não fornece um critério >> para identificarmos, por exemplo, o número 1/2? Eu acho que poderíamos dizer >> isso através do seguinte teorema: >> >> (7) TEOREMA - Seja S o conjunto de todos os números racionais r tais que 0 < >> r < 1. Para cada s ∈ S existe uma função bijetora f_s:S→S tal que, para todo >> t,u ∈ S: >> . f_s(s) = 1/2 >> . (u < t) <=> (f_s(u) < f_s(t)) >> >> Ou seja, para cada s ∈ S existe um isomorfismo f_s em S que mapeia s em 1/2 >> e que preserva a ordem dos racionais. Isso significa que qualquer elemento >> de S pode "funcionar" como 1/2, pode "fazer o papel de" 1/2, porque 1/2 não >> tem papel nenhum na estrutura (2). A estrutura (2) é muito caótica. Ela não >> nos ajuda nem a contar nem a medir. >> >> Isso é bem estranho para a minha intuição (discreta e finitária). Deixe-me >> ilustrar um pouco. Suponha que s seja um número racional bem perto de 0. >> Algo como 0,0000000000001. >> Não importa quão perto 0,0000000000001 esteja de 0, existe uma bijeção f em >> que f(0,0000000000001)=1/2 e que mapeia unicamente (espalhando) cada >> racional entre 0 e 0,0000000000001 em cada racional entre 0 e 1/2, e que >> também mapeia unicamente (espremendo) cada racional entre 0,0000000000001 e >> 1 em cada racional entre 1/2 e 1. E esta bijeção é um isomorfismo, pois >> preserva a ordem dos racionais. Ou seja, (u < t) <=> (f(u) < f(t)). >> >> Como eu entendo isso? Bem, esta ideia de estar mais perto de 0 ou de 1 ou de >> estar no meio, não faz sentido na estrutura (2). Apesar da ordem, nenhum dos >> elementos de (2) está mais perto de 0 ou de 1 do que qualquer outro. A ordem >> é densa, mas enumerável e sem extremos. Isso é quase nada. Viajando um >> pouco, acho que um bom nome para uma tal ordem seria "quase-caos". >> >> Generalizando o teorema (7) obtemos: >> >> (8) TEOREMA - Seja S o conjunto de todos os números racionais r tais que 0 < >> r < 1. Para cada s,u ∈ S, existe uma função bijetora f_su:S→S tal que para >> todo t,v ∈ S: >> . f_su(s) = u >> . (v < t) <=> (f_su(v) < f_su(t)) >> >> Ou seja, dados quaisquer 2 números racionais s e u maiores que 0 e menores >> que 1, existe um isomorfismo f_su em S que mapeia s em u e que preserva a >> ordem dos racionais. Isso significa que qualquer elemento de S pode fazer o >> "papel" de qualquer outro elemento de S e, portanto, os elementos de S são >> cópias da mesma coisa. São distinguíveis apenas numericamente (ser o mesmo e >> ser outro), mas fora isso, são idênticos. >> >> Bem. Finalmente minhas dúvidas. >> >> D1. Alguém conhece este teorema (8)? Bem, eu acho que (8) é um teorema. >> Parece bem plausível, apesar de, pelo menos para mim, contra-intuitivo. >> Suspeito, inclusive, que ele tenha uma prova simples. Se não me engano, a >> versão do teorema (8) para o caso geral de qualquer ordem linear densa sem >> extremos foi demonstrada pelo próprio Cantor. Mas não estou certo. Algum >> palpite da prova? >> >> D2. Vocês acham que este teorema (8) é uma boa "interpretação matemática" do >> caso em questão? Meu colega disse que (2) é uma estrutura matemática que não >> contém nenhum 'critério de identidade' para os seus objetos. Mas eu acho que >> isso é um exagero. Há um critério de identidade. d e s são o mesmo se >> (~(d<s)&~(s<d)), e são distintos caso contrário. O que eu acho que falta a >> (2) [a todas ordens lineares densas enumeráveis e sem extremos] é um >> critério de especificidade, ou de definibilidade. Não há nada que eu possa >> dizer em (2) de um certo individuo que não seja verdade também de algum >> outro. Ou seja, todas as sentenças (finitas) de (2) que são verdadeiras de >> um objeto s, são também verdadeiras de muitos outros. (2) não tem capacidade >> de especificar nenhum de seus objetos. Então, eu diria que o que falta a (2) >> é um critério de definibilidade ou especificidade. Vocês acham que o teorema >> (8) captura esta ideia? >> >> Desculpem a longa mensagem e sintam-se a vontade para corrigir qualquer >> bobagem que eu tenha escrito. >> >> Saudações, >> Daniel. >> >> -- >> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos >> Grupos do Google. >> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie >> um e-mail para [email protected]. >> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para [email protected]. >> Acesse esse grupo em >> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. >> Para ver essa discussão na Web, acesse >> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/3ae9f99b-04cc-43f6-92c3-0b5775c46c5b%40dimap.ufrn.br. > > -- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um > e-mail para [email protected]. > Para postar nesse grupo, envie um e-mail para [email protected]. > Acesse esse grupo em > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. > Para ver essa discussão na Web, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAExWzU%2BD7bUgVBaOeHVHB9QNVxmOSue%3DHK1cNM3TuJ%3D%2B5ScR%2Bg%40mail.gmail.com. -- http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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