Viva, Hermógenes:
> Se é que eu entendi bem o "conectivo" que você apresentou, minha
> hesitação inicial diz respeito exatamente ao fato dele ser apenas
> *parcialmente* determinado, isto é, sua semântica (valor semântico)
> estaria fixada apenas com relação a uma parte das sentenças da
> linguagem.
Na realidade, no caso da negação definida como \neg A := A\to\botop, a
semântica de \neg *não* é parcial, mas simplesmente
não-determinística. De fato, se v é uma valoração tendo como
contradomínio o conjunto {F,T}, podemos neste caso impor o "axioma":
v(A)=F implica v(\neg A)=T
e mais nada. Em particular, se v(A)=T então v(\neg A) pode tomar um
valor qualquer, F ou T.
> Além disso, só para deixar registrado, eu, pessoalmente, não vejo nenhum
> problema com "pregações com caráter puramente ideológico".
Eu também não tenho nenhum problema com isso, desde que o pregador
esteja consciente do caráter ideológico da sua pregação --- ao invés
de dizer, digamos, que "estou apenas fazendo matemática (em uma
vertente intuicionista, ou construtiva, ou dummettiana, ou
martinlöfiana, ou prawitziana, ou...)".
>> Moral: um conectivo não é uma proposição atômica --- nem quando ambos
>> se parecem.
>
> Você poderia elaborar mais? Em particular, no caso de IL⁺ e hJ, dado
> que você admite[3] que este é extensão conservativa daquele, qual seria
> a diferença entre ⊥ e uma sentença atômica qualquer? O fato de que um
> deles eu escrevo assim "⊥" e o outro eu escrevo assim "p", ou assim "q"?
> (AKA don't you see? the signature is different!)
Deixe-me propor um exemplo (subestrutural) um pouquinho diferente
deste, para ver se o ponto fica mais claro. Passo 0: Fixe o seu
cálculo de sequentes favorito para a lógica clássica (ou para a lógica
intuicionista, se preferir). Passo 1: Adicione o conectivo nulário
\botop à linguagem. Passo 2: jogue fora a forma irrestrita da regra
do corte, permitindo apenas o corte para o \botop, ou seja:
de \Gamma,\botop\Rightarrow\Delta e \Gamma\Rightarrow,\botop\Delta
podemos concluir \Gamma\Rightarrow\Delta
Do ponto de vista semântica, pode-se mostrar (seguindo a tradição que
vai de Schütte a Girard) que a lógica resultante possui uma semântica
trivalorada. De fato, podemos neste pensar em valorações tendo como
contra-domínio o conjunto {F,N,T}, e caracterizar o novo conectivo
(que se "parece" com um átomo --- mas não é) através do "axioma":
v(\botop) \neq N
Note que a semântica de \botop é não-determinística --- ma non troppo.
Passo 3: Adicione agora também o conectivo unário \star à linguagem,
impondo sobre sua semântica os "axiomas":
v(A)\in\{F,T\} implica v(\star(A))=T
v(A)\not\in\{F,T\} implica v(\star(A))=F
Exercício: caracterizar tal conectivo unário usando regras de
sequentes apropriadas.
Dada uma proposição atômica p, observe por fim que no cálculo
resultante a sentença \star(\botop) será um teorema, mas \star(p) não
será.
Abraços,
Joao Marcos
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