Obrigado, Cezar e Tony!!!
Consegui um contra-modelo pra cada seta do diagrama,
e depois consegui juntar tudo, ó:
1 2 3
\ / \ /
(W,R) = v v v v
4 5 6<->7
= {(1,2,3,4,5,6,7),
{(1,4), (2,4), (2,5), (3,5), (6,7), (7,6)}
}
v( P) = { 3,4, 7}
v( ◻P) = { 4 }
v( ⋄◻P) = {1,2, 4 }
v(◻⋄◻P) = {1, 4 }
v( ⋄P) = {1,2,3,4, 6,7}
v( ◻⋄P) = {1, 4, 6,7}
v(⋄◻⋄P) = {1,2, 4, 6,7}
1 1 1
1 0 11
^ ^
/ \
/ \ ⋄P
1 1 0 \ ^ ^
1 0 11 \ / \
^ ^ \ ⋄◻⋄P \
/ \ \ ^ ^ \
/ \ \ / \ \
1 0 0 1 1 0 0 0 1 ◻⋄P ⋄◻P P
1 0 11 1 0 00 1 0 01 ^ ^ ^
^ ^ ^ \ / /
\ / / ◻⋄◻P /
\ / / ^ /
1 0 0 / \ /
1 0 00 / ◻P
^ /
\ /
\ /
0 0 0
1 0 00
[[]], jingobéu, etc, etc e tal! =)
Eduardo
2016-12-24 12:16 GMT-02:00 <[email protected]>:
> Oi, Eduardo,
>
> ah, ok. Para a fórmula ◻⋄◻P → ◻P, acho que isso é um contramodelo (se fiz
> as contas certo):
>
> W = {a,b}
> R = {(a,a), (b,b), (a,b)} (R é reflexiva e transitiva)
> V(P) = {a} (ou seja, P é falsa só no mundo a)
>
> Em b, as fórmulas P, ◻P, ⋄◻P, ◻⋄◻P, e ◻⋄◻P → ◻P são todas verdadeiras.
>
> Em a, P e ◻P são falsas, mas ⋄◻P é verdadeira (pois ◻P é verdadeira em b)
> e ◻⋄◻P é verdadeira (pois ⋄◻P é verdadeira tanto em a quanto em b). Isso
> torna ◻⋄◻P → ◻P falsa (em a).
>
> Uma variante disso (P só é falsa em b) deve falsificar ⋄P → ⋄◻⋄P.
>
> Se errei nas contas, me avisa, por favor, que eu tento de novo.
>
> Abraços,
>
> Cezar
>
>
> Em 2016-12-24 11:47, Eduardo Ochs escreveu:
>
>> Oi Cezar,
>> Desculpa, cê tá certo, falei besteira no meu e-mail...
>>
>> O correto é isto aqui:
>>
>> ◻P → ◻⋄◻P é teorema
>> ◻⋄◻P → ◻P não é teorema
>> ◻⋄◻P → ◻P tem contra-modelo (qual?)
>> ¬(◻⋄◻P → ◻P) tem modelo (qual?)
>>
>> Tou procurando um contra-modelo para ◻⋄◻P → ◻P...
>> [[]] =\,
>> Eduardo
>>
>> 2016-12-24 10:43 GMT-02:00 <[email protected]>:
>>
>> Caro Eduardo,
>>>
>>> mas essas duas fórmulas:
>>>
>>> ◻P → ◻⋄◻P
>>>> ⋄◻⋄P → ⋄P,
>>>>
>>>
>>> são válidas em S4; veja na lista abaixo que você colocou. Você
>>> está com dificuldades para falsear as implicações na outra
>>> direção, ou seriam outras as fórmulas causando problemas?
>>>
>>> Abraços,
>>>
>>> Cezar
>>>
>>> Em 2016-12-24 01:57, Eduardo Ochs escreveu:
>>>
>>> Oi João & outros,
>>>
>>> acho que tou precisando de uma ajuda em algo preliminar antes de eu
>>> tentar fazer as figuras para as negações paraconsistentes...
>>>
>>> No p.149 do "Modal Logic - An Introduction" do Chellas tem uma
>>> figura
>>> que dá a ordem parcial das 7 modalidades sem negação em S4; ele
>>> diz
>>> que a gente consegue provar que
>>>
>>> ◻P → P → ⋄P
>>> ◻P → ◻⋄◻P → ⋄◻P → ⋄◻⋄P → ⋄P
>>> ◻P → ◻⋄◻P → ◻⋄P → ⋄◻⋄P → ⋄P,
>>>
>>> e que cada uma dessas implicações é "estrita" no sentido de que
>>> para
>>> cada uma delas a gente consegue um "relational model" M=(W,R,v) no
>>> qual a implicação reversa não é verdade.
>>>
>>> Eu tou com muita dificuldade de falsificar (falsear?) estas duas
>>> aqui,
>>>
>>> ◻P → ◻⋄◻P
>>> ⋄◻⋄P → ⋄P,
>>>
>>> alguém se lembra como se faz isso e toparia dar uma dica?
>>>
>>> Na verdade eu tou tentando conseguir um relational model que
>>> falsifique todas estas implicações reversas de uma vez...
>>>
>>> ⋄P
>>> ^ ^
>>> / \
>>> ⋄◻⋄P \
>>> ^ ^ \
>>> / \ \
>>> ◻⋄P ⋄◻P P (*)
>>> ^ ^ ^
>>> \ / /
>>> ◻⋄◻P /
>>> ^ /
>>> \ /
>>> ◻P
>>>
>>> reparem que se
>>>
>>> 1 2
>>> / \ /
>>> (W,R) = v v v = ({1,2,3,4}, {(1,3),(1,4),(2,4)})
>>> 3 4
>>>
>>> e v(P) = {(1,1),(2,0),(3,0),(4,1)} podemos representar P como
>>>
>>> 1 0
>>> / \ /
>>> v v v
>>> 0 1
>>>
>>> ou, mais compactamente, como:
>>>
>>> 1 0
>>> 0 1
>>>
>>> aí temos
>>>
>>> ◻P = 0 0
>>> 0 1 ,
>>>
>>> ⋄P = 1 1
>>> 0 1 ,
>>>
>>> etc, e o diagrama (*) acima vira, neste relational model,
>>>
>>> 1 1
>>> 0 1
>>> =( ^ ^
>>> / \
>>> 1 1 \
>>> 0 1 \
>>> ^ ^ =( \
>>> / \ \
>>> 0 1 1 1 1 0
>>> 0 1 0 1 0 1
>>> ^ ^ ^
>>> =( \ / /
>>> 0 1 /
>>> 0 1 /
>>> ^ /
>>> =( \ /
>>> 0 0
>>> 0 1
>>>
>>> eu marquei com "=("s os lugares onde a gente gostaria que as setas
>>> distinguissem valores mas não distinguem.
>>>
>>> Eu até consegui um outro relational model melhor, que só tem dois
>>> "=("s, mas consegui ele meio no chute, e ele é bem pior de digitar
>>> porque a relational frame dele é esta (reparem no truque de que os
>>> mundos 6 e 7 se vêem um ao outro!):
>>>
>>> 1 2 3 4
>>> | \ / | | \ / |
>>> (W,R) = | \/ | | \/ |
>>> | /\ | | /\ |
>>> v v v v v v v v
>>> 5 6 <---> 7 8
>>>
>>> ...mas, como eu falei, não estou conseguindo falsear/falsificar
>>>
>>> ◻P → ◻⋄◻P e
>>> ⋄◻⋄P → ⋄P.
>>>
>>> Tou fazendo alguma besteira tentando encontrar contramodelos usando
>>> tableux pra S4... e, pior, acho que o Marcelo Coniglio me mostrou
>>> como
>>> resolver isso quando a gente se encontrou em Istambul, mas o caderno
>>> que a gente usou pra escrevinhar e discutir ficou em Rio das Ostras
>>> e
>>> eu tou no Rio e só vou voltar pra lá na segunda... 8-(
>>>
>>> Thanks in advance =),
>>> Eduardo
>>>
>>> 2016-12-15 8:28 GMT-02:00 Joao Marcos <[email protected]>:
>>>
>>> Se alguém aqui tiver idéias sobre como visualizar lógicas
>>> paraconsistentes eu ADORARIA discutir isso... a única lógica
>>> paraconsistente que eu já entendi até hoje é uma que o
>>> Jean-Yves
>>> Beziau montou em cima de S5 ("S5 is a paraconsistent logic and so
>>> is
>>> first-order classical logic", 2002), eu sou péssimo nessas
>>> coisas.
>>>
>>> Vale notar que a mesma estratégia pode ser aplicada a qualquer
>>> lógica
>>> modal normal ("Nearly every normal modal logic is paranormal",
>>> Logique
>>> et Analyse 2005). Não me parece que as crianças achariam mais
>>> difícil
>>> entender estes outros sistemas mais fracos do que entender S5. Tome
>>> ◡
>>> para a negação paraconsistente modal que funciona como um
>>> "diamante
>>> negativo" (negation as unnecessity). Algumas classes de
>>> enquadramentos modais usuais são então facilmente
>>> caracterizáveis, por
>>> exemplo:
>>> [reflexividade] p∨◡p
>>> [simetria] ◡◡p => p
>>> [euclidianidade] ◡p∧◡◡p => q
>>> Observe que nem todo paraconsistentista ficará contente com o
>>> axioma
>>> característico da euclidianidade, o qual mostra que a lógica em
>>> questão é "parcialmente explosiva em contato com ◡".
>>>
>>> Sobre a "visualização de lógicas", talvez você curta ver a
>>> negação ◡
>>> como *dual* da negação ◠, uma negação paracompleta modal que
>>> funciona
>>> como um "box negativo" (negation as impossibility). Isto é
>>> similar,
>>> claro, à interpretação intuicionista da negação. Do ponto de
>>> vista
>>> algébrico você poderia trabalhar com álgebras duais à álgebra
>>> de
>>> Heyting ou, melhor ainda, com álgebras bi-Heyting, bem estudadas na
>>> literatura (e também na literatura categorial). Se você tiver
>>> interesse em trabalhar nisto, fique à vontade para entrar em
>>> contato
>>> direto comigo!
>>>
>>> No paper que segue você encontrará um estudo em que as duas
>>> negações,
>>> ◡ e ◠, são postas na mesma linguagem. Várias situações
>>> interessantes
>>> de interação têm lugar.
>>>
>> https://dl.dropboxusercontent.com/u/9291912/papers/16-LMZ-SeqNegMod.pdf
>> [3]
>>
>> [1]
>>> São também oferecidos no paper cálculos de sequentes com a
>>> propriedade
>>> de analiticidade para várias lógicas nesta linguagem, estendida
>>> por
>>> conectivos de restauração para internalizar consistência e
>>> determinação.
>>>
>>> Abraços,
>>> Joao Marcos
>>>
>>> --
>>> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ [1] [2]
>>>
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>> [4]
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