Oi Rodrigo,
Exatamente por conta disso de seu comentário é que "nao gosto" desses
cardinais de ZF, ter um representante de um certo tamanho que nao
tenha esse tamanho nao me agrada hehe. Prefiro ficar lidando com o
tamanho, falando dos objetos diretamente (os conjuntos), sem falar do
representante (o cardinal do "truque de Scott"). Até agora, tenho
conseguido fazer isso, nao sei se haverá um momento no qual nao
poderei escapar de tratar desses cardinais nao-alephs.
[]s Samuel
Quoting Rodrigo Freire <freires...@gmail.com>:
Legal Samuel, esse é um bom jeito de pensar nesses cardinais estranhos:
são invariantes para a relação de equipotência, vale o teorema de Schroder
et al., e são dominados por alephs já que esses formam uma classe própria
(pelo Hartogs). Além disso é bom lembrar que, em geral, não vale que x é
equipotente ao cardinal de x por causa desses cardinais estranhos.
Abraço
Rodrigo
2011/6/30 <sam...@ufba.br>
Olás,
Sim, esses cardinais em ZF (os do truque de Scott) sao beeeem estranhos. Eu
prefiro trabalhar só com dominacao, Teorema de Schroder-Bernstein-Cantor e
equipotência... Na dissertacao que eu orientei do Joao Paulo, decidimos nao
"mexer" com esses "cardinais que nao sao alephs". Eu olho para os enunciados
com esses caras e prefiro traduzir para uma informacao de equipotência entre
conjuntos...
Até,
[]s Samuel
Quoting Rodrigo Freire <freires...@gmail.com>:
Pois é, esses resultados são mais interessantes quando a conjunção de dois
enunciados mais fracos implica escolha. O Lowenheim-Skolem para cima e
para
baixo (que é o que ocorre no enunciado acima) já vai implicar escolha. Aí
é
da informação de cardinal mesmo. E é fácil a prova. Agora vi a mensagem do
Hugo com o esboço da prova e é isso mesmo. Você pode montar uma linguagem
com um símbolo de predicado ternário e escrever axiomas para esse
predicado
dizendo que ele é um gráfico de uma bijeção de k.k em k.
A principal sutileza é que para falar de cardinais sem usar escolha (sem
usar o teorema da boa ordem) você precisa ser cuidadoso. Nesse caso você
define os cardinais bem ordenáveis (os alephs), mas tem também os outros
definidos a partir do truque de Scott (como o conjunto dos conjuntos
equipotentes ao conjunto dado de menor rank).
Abraço
Rodrigo
2011/6/29 <sam...@ufba.br>
Oi Rodrigo,
Sim, o argumento original de Tarski pelo que sei era em cima desse k.k =
k
mesmo, já tinha ouvido falar disso... As sutilezas aí, têm aos montes !
Por exemplo, sei que se vc enuncia de uma determinada maneira o
Lowenhein-Skolem, "só ele sozinho" já fica equivalente ao Axioma da
Escolha.
(Achei aqui uma referência para isso, é o verbete de Bell na enciclopédia
de Stanford:
http://plato.stanford.edu/****entries/axiom-choice/#****AxiChoLog<http://plato.stanford.edu/**entries/axiom-choice/#**AxiChoLog>
<http://plato.**stanford.edu/entries/axiom-**choice/#AxiChoLog<http://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/#AxiChoLog>
>
Tem uma lista de equivalências aí.
No caso, seria o Downward Lowenhein-Skolem que seria equivalente, pelo
visto...)
Assim, quando se juntam "coisas para formar uma equivalência com o Axioma
da Escolha", fica mais interessante juntar coisas que são sabidamente
mais
fracas, como BPI e LT, BPI mais algo muito próximo do Lowenhein-Skolem eu
já
começo a não perceber onde entrou "o a mais"...
Até,
[]s Samuel
Citando Rodrigo Freire <freires...@gmail.com>:
Olá Samuel
Interessante seu comentário.
A "parte a mais" no enunciado pode ser identificada com a informação de
cardinalidade adicional. Com esse enuciado você prova que para qualquer
cardinal infinito k, k.k = k e isso é equivalente ao axioma da escolha
(Tarski).
Abraço
Rodrigo
2011/6/29 <sam...@ufba.br>
Olás a todos, Rodrigo e João Marcos em particular,
Interessante, o Teorema da Completude é equivalente ao Teorema do
Ultrafiltro, e aí o que aparece "a mais" (na formulação do
Bell-Slomson),
chega na equivalência com Axioma da Escolha...
Isso realmente tem a haver com ultraprodutos, lembro de ter visto
durante
a
iniciação científica com um aluno daqui da Ufba que o axioma da escolha
é,
também, equivalente à conjunção do Teorema do Ultrafiltro com o Teorema
de
Lós.
(BPI + LT equivalente a AC, isso é um resultado de Howard dos anos 70,
onde BPI é o Teorema do Ideal Booleano Primo (que é equivalente ao
Teorema
do Ultrafiltro) e LT é o Teorema de Lós, segue o link do artigo...
http://www.jstor.org/stable/******2040659<http://www.jstor.org/stable/****2040659>
<http://www.jstor.**org/stable/**2040659<http://www.jstor.org/stable/**2040659>
>
<http://www.jstor.org/****stable/2040659<http://www.jstor.org/**stable/2040659>
<http://www.**jstor.org/stable/2040659<http://www.jstor.org/stable/2040659>
>>
)
É como se o LT fosse "a parte de existir(em) o(s) modelo(s)" no
primeiro
parágrafo acima, seria o "a mais"...
Até,
[]s Samuel
PS: Só pra quem for ler o artigo: dentro da discussão do último
parágrafo,
algum tempo depois Blass construiu um modelo *sem* ultrafiltros livres.
Daí
não tem mesmo como excluir BPI da equivalência AC <--> BPI + LT, já que
o
Teorema de Lós é "óbvio" se só existirem ultrafiltros principais...
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