Olás,
Sim, esses cardinais em ZF (os do truque de Scott) sao beeeem
estranhos. Eu prefiro trabalhar só com dominacao, Teorema de
Schroder-Bernstein-Cantor e equipotência... Na dissertacao que eu
orientei do Joao Paulo, decidimos nao "mexer" com esses "cardinais que
nao sao alephs". Eu olho para os enunciados com esses caras e prefiro
traduzir para uma informacao de equipotência entre conjuntos...
Até,
[]s Samuel
Quoting Rodrigo Freire <freires...@gmail.com>:
Pois é, esses resultados são mais interessantes quando a conjunção de dois
enunciados mais fracos implica escolha. O Lowenheim-Skolem para cima e para
baixo (que é o que ocorre no enunciado acima) já vai implicar escolha. Aí é
da informação de cardinal mesmo. E é fácil a prova. Agora vi a mensagem do
Hugo com o esboço da prova e é isso mesmo. Você pode montar uma linguagem
com um símbolo de predicado ternário e escrever axiomas para esse predicado
dizendo que ele é um gráfico de uma bijeção de k.k em k.
A principal sutileza é que para falar de cardinais sem usar escolha (sem
usar o teorema da boa ordem) você precisa ser cuidadoso. Nesse caso você
define os cardinais bem ordenáveis (os alephs), mas tem também os outros
definidos a partir do truque de Scott (como o conjunto dos conjuntos
equipotentes ao conjunto dado de menor rank).
Abraço
Rodrigo
2011/6/29 <sam...@ufba.br>
Oi Rodrigo,
Sim, o argumento original de Tarski pelo que sei era em cima desse k.k = k
mesmo, já tinha ouvido falar disso... As sutilezas aí, têm aos montes !
Por exemplo, sei que se vc enuncia de uma determinada maneira o
Lowenhein-Skolem, "só ele sozinho" já fica equivalente ao Axioma da Escolha.
(Achei aqui uma referência para isso, é o verbete de Bell na enciclopédia
de Stanford:
http://plato.stanford.edu/**entries/axiom-choice/#**AxiChoLog<http://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/#AxiChoLog>
Tem uma lista de equivalências aí.
No caso, seria o Downward Lowenhein-Skolem que seria equivalente, pelo
visto...)
Assim, quando se juntam "coisas para formar uma equivalência com o Axioma
da Escolha", fica mais interessante juntar coisas que são sabidamente mais
fracas, como BPI e LT, BPI mais algo muito próximo do Lowenhein-Skolem eu já
começo a não perceber onde entrou "o a mais"...
Até,
[]s Samuel
Citando Rodrigo Freire <freires...@gmail.com>:
Olá Samuel
Interessante seu comentário.
A "parte a mais" no enunciado pode ser identificada com a informação de
cardinalidade adicional. Com esse enuciado você prova que para qualquer
cardinal infinito k, k.k = k e isso é equivalente ao axioma da escolha
(Tarski).
Abraço
Rodrigo
2011/6/29 <sam...@ufba.br>
Olás a todos, Rodrigo e João Marcos em particular,
Interessante, o Teorema da Completude é equivalente ao Teorema do
Ultrafiltro, e aí o que aparece "a mais" (na formulação do Bell-Slomson),
chega na equivalência com Axioma da Escolha...
Isso realmente tem a haver com ultraprodutos, lembro de ter visto durante
a
iniciação científica com um aluno daqui da Ufba que o axioma da escolha
é,
também, equivalente à conjunção do Teorema do Ultrafiltro com o Teorema
de
Lós.
(BPI + LT equivalente a AC, isso é um resultado de Howard dos anos 70,
onde BPI é o Teorema do Ideal Booleano Primo (que é equivalente ao
Teorema
do Ultrafiltro) e LT é o Teorema de Lós, segue o link do artigo...
http://www.jstor.org/stable/****2040659<http://www.jstor.org/stable/**2040659>
<http://www.jstor.org/**stable/2040659<http://www.jstor.org/stable/2040659>>
)
É como se o LT fosse "a parte de existir(em) o(s) modelo(s)" no primeiro
parágrafo acima, seria o "a mais"...
Até,
[]s Samuel
PS: Só pra quem for ler o artigo: dentro da discussão do último
parágrafo,
algum tempo depois Blass construiu um modelo *sem* ultrafiltros livres.
Daí
não tem mesmo como excluir BPI da equivalência AC <--> BPI + LT, já que o
Teorema de Lós é "óbvio" se só existirem ultrafiltros principais...
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